Um redutor de velocidades é feito com ondulações aproximadamente senoidais construídas na pista de uma rodovia. Deseja-se que a velocidade dos automóveis seja inferior a . Considere que a massa de um automóvel é de igualmente distribuída entre as rodas, e que os amortecedores independentes de cada roda têm uma mola de constante elástica mergulhada num fluido de viscosidade . O engenheiro decide que o redutor deve ser tal que o automóvel tenha a máxima amplitude de oscilação induzida pelas ondulações da pista exatamente quando o automóvel passa à velocidade pelo redutor.
Qual deve ser a distância entre as ondulações da pista?
Passo 1
Como o enunciado nos diz que a massa do automóvel é igualmente distribuída pelas rodas e cada roda possui seu e . Então podemos analisar em separado cada roda, encontrando assim a equação do movimento
Passo 2
Mas como vamos relacionar a distância entre os redutores com e ?
Bem, o enunciado nos deu a dica, ele diz que o engenheiro projetou de tal forma que teremos a amplitude máxima de oscilação, quando o carro passar.
Então sempre que o carro passar teremos a amplitude máxima. Então toda hora que passarmos por um redutor estaremos na mesma amplitude do redutor anterior? Huumm! Isso me parece muito com o período, certo?
Assim temos que
Então temos que a distancia entre os redutores, será dada por
Pois, a velocidade do carro para termos a amplitude máxima é e quando isso ocorre o tempo entre os redutores é o mesmo que o período.
Passo 3
Agora, vamos descobrir o período então!
Vimos que
Sendo que , nós conseguimos descobrir pela equação do MHA, porém queremos o máximo amplitude, então estudamos o caso de ressonância e vimos na teoria de ressonância é dado por:
Onde, e
Substituindo esses dados na equação temos:
Passo 4
Agora conseguimos descobrir o valor de ,
Passando tudo para dentro da raiz temos:
Alternativa
Resposta
Alternativa