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Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Um sistema massa-mola é imerso num meio viscoso, com constante de amortecimento ρ   =   1   k g / s e constante de mola k   =   400   N / m . Uma força externa de frequência angular Ω =   10   r a d / s atua sobre a massa. Qual deve ser o valor da massa para que a amplitude do movimento seja máxima?

(a) 4 kg

(b) 35 g

(c) 40 g

(d) 350 g

(e) 35 kg

Passo 1

Nesse problema aí nós vamos ter um movimento harmônico amortecido com força externa oscilatória.

Nós vamos considerar que o sistema já tenha atingido o regime permanente. Ou seja: a solução homogênea, aquela do MHA: subcrítico, crítico, ou supercrítico, já tendeu a zero. Agora temos só a solução particular.

Então, nesse caso, a amplitude vai ser máxima na RESSONÂNCIA.

Tem uma fórmula pra frequência de ressonância:

Ω r = ω 0 2 - γ 2 / 2

E pra amplitude ser máxima, a frequência que ele deu tem que ser a de ressonância!

Como:

ω 0 2 = k / m

E:

γ 2 = ρ 2 m 2

Ω r = k / m - ρ 2 2 m 2

Ω r 2 = k / m - ρ 2 2 m 2

Ω r 2 = 2 k m / 2 m 2 - ρ 2 2 m 2

2 m 2 Ω r 2 = 2 k m - ρ 2

2 m 2 Ω r 2 - 2 k m + ρ 2 = 0

Trocando os valores:

2 m 2 10 2 - 2 × 400 m + 1 2 = 0

200 m 2 - 800 m + 1 = 0

m 2 - 4 m + 1 / 200 = 0

Cara, esse 1/200 vai ser muiiiiiito insignificante pra esse resultado. Então podemos aproximar:

m 2 - 4 m = 0

E aí temos duas soluções:

m = 0   k g   o u   m = 4   k g

Obviamente vamos escolher m = 4   k g .

Resposta

Letra A.

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