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Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

Um sistema é formado por uma massa m = 0 ,   5   k g , uma mola de constante elástica k   =   50   N / m e um amortecedor com constante de amortecimento r   =   0 ,   1   k g / s . Se o sistema é sujeito a uma força externa F t = F o c o s ⁡ ( δ t ) , onde F o = 0,5   N , a amplitude do sistema para baixíssimas frequências e na ressonância será, respectivamente:

  1. 10   m m   e   0,5   m
  2. 1   m m   e   0,05   m
  3. 10   m m   e   0,05   m
  4. 1   m   e   0,5   m
  5. 0,1   m   e   5   m

Passo 1

Por tratar-se de um oscilador forçado e amortecido, a solução completa no regime estacionário (lembre-se que a solução transiente deve se tornar rapidamente desprezível com respeito à solução estacionária, já que é exponencialmente decrescente) é uma oscilação harmônica de amplitude A e fase ϕ :

x t = A c o s δ t + ϕ

Com

A δ = F o m ω o 2 - δ 2 2 + γ 2 δ 2

E

ϕ δ = - atan ⁡ γ δ ω 0 2 - δ 2

Passo 2

Logo, no limite de baixíssimas frequências ( δ → 0 ), a amplitude A é

log δ → 0 ⁡ A δ = F o m ω o 2 = F o k = 0,5 50 = 10 - 2 m

Passo 3

O regime de amortecimento desse oscilador é o sub-crítico, já que

γ 2 = ρ 2 m = 0,1 s - 1 < ω o = k m = 10   r a d / s

Perceba que o oscilador é fracamente amortecido ( γ ≪ ω o ), então a frequência de ressonância de amplitude δ max ⁡ é aproximadamente ω o e nessa frequência, a amplitude é

δ max ⁡ = ( ω o 2 - γ 2 2 )       ≈ ω o

⋮

A max ⁡ = F o m ω o γ = 0,5 m    

Resposta

Letra A

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