Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

Ver Teoria
Exercício 2134567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344

Enunciado

Um sistema composto por um bloco de massa 2 k g que se encontra na horizontal, sobre uma mesa, e que está ligada à parede por uma mola, tem seu movimento representado por:

x ¨ + 6 x ˙ + 25 x = 0 ,

Onde as constantes estão em unidades SI. Despreze o atrito do bloco com a superfície da mesa.

  1. Identifique a constante de amortecimento γ e a frequência angular ω 0 na equação acima e determine o tipo de amortecimento sofrido pelo sistema.
  2. Dado que o bloco se encontra inicialmente na posição x = 1 m , onde a origem deste sistema corresponde à posição do bloco com a mola relaxada, e com velocidade inicial - 7 m / s , determine a equação horária x ( t ) do sistema em função de sua amplitude e fase inicial.
  3. Suponha agora que este sistema passe a oscilar sob a ação de uma força F = cos ⁡ Ω t . Ache a frequência angular Ω sob qual a amplitude das oscilações é máxima. Assuma que o tempo t é grande o suficiente para que a componente transiente do movimento já tenha sido totalmente suprimida. Encontre também esta amplitude máxima.

Passo 1

  1. Bom galera, nesse item nós precisamos apenas saber identificar as constantes de uma equação de MHA:

    Uma equação de um MHA segue o padrão:

    x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

    Pronto! Basta a gente comparar com a equação que temos e vamos ver que:

    γ = 6 s - 1

    ω 0 2 = 25   → ω 0 = 5 r a d / s

    A gente sempre pode associar uma EDO a uma equação característica, do segundo grau em x:

    x 2 +   γ x +   ω 0 2 = 0

    Calculando o ∆ dessa equação, vamos poder classificar o regime em crítico, subcrítico ou supercrítico:

    ∆ = γ 2 - 4.1 . ω 0 2 = 36 - 4.1 . 25 = - 64

    Como o ∆ < 0 ,   o sistema é subcrítico!(:

    Passo 2

  2. Como o amortecimento é subcrítico, a função de variação do espaço é:

    3. x t = A e - γ t 2 c o s ⁡ ( ω t + ∅ )

    Onde ω = ω 0 - γ 2 4 = 4 r a d / s  

    Vamos calcular agora o x ˙ t ,   derivando a expressão acima e usando aquela regrinha da derivada do produto de cálculo 1:

    x ˙ t = - A . γ 2 e - γ t 2 cos ⁡ ω t + ∅ - A ω e - γ t 2 s i n ⁡ ( ω t + ∅ )

    Beleza! Agora vamos usar as condições iniciais pra achar o que ainda não sabemos.... a fase ∅ !

    Sabendo que x 0 = 1 m , e v 0 = - 7 m / s :

    x 0 = A e 0 cos ⁡ ∅ = 1   → cos ⁡ ∅ = 1 A

    x ˙ 0 = - A . γ 2 e 0 cos ⁡ ∅ - A ω e 0 sin ⁡ ∅ = - 7

    ∴

    3 A c o s ∅ + 4 A s e n ∅ = 7

    Usando o valor A c o s ∅ = 1 :

    3 + 4 A s e n ∅ = 7 → s e n ∅ = 1 A  

    Como s e n ∅ = c o s ⁡ ( ∅ ) , fica claro que esse ângulo é π 4 ! Logo o valor de A é:

    A = 1 s e n ∅ = 2 2 = 2

    Show! Agora podemos unir todas as informações que temos pra calcular a nossa função:

    x t = A e - γ t 2 c o s ⁡ ( ω t + ∅ )

    ∴

    x t = 2 e - 3 t c o s 4 t + π 4

    Passo 3

Galera, aqui vamos usar a fórmula:

A 2 Ω = F 0 2 m 2 ω 0 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2

Essa é a amplitude uma oscilação forçada em função de frequência angular.

Ela será máxima quando Ω = ω 0 2 - γ 2 2 = 7 r a d / s

Substituindo na equação da amplitude:

A 2 4 = 1 2 2 5 2 - 7 2 + 6 2 7 ) = 1 2304   → A = 1 2304

Resposta

  1. γ = 6 s - 1

    2. ω 0 = 5 r a d / s

    Subcrítico

  2. x t = 2 e - 3 t c o s 4 t + π 4
  3. Ω = 7   r a d / s

A = 1 2304

Exercícios de Livros Relacionados

13.21P Um carro sem carga tem massa de 1200kg . Quando dois passageiros, com massa-conjunta de 150kg , entram no carro, sua plataforma sofre um deslocamento de 3,0cm para baixo. O carro, com seus pass
Um corpo de 2,00k g oscila preso a uma mola que tem uma constante de força igual a 400N / m . A constante de amortecimento linear vale b = 2,00k g / s . O sistema é exictado por uma força senoidal de
Um oscilador linearmente amortecido perde 2,00 por cento de sua energia em cada ciclo. (a) Qual é o seu fator Q ? (b) Se sua frequência de ressonância é 300H z , qual é a largura da curva de ressonânc
Suponha que, na Eq. 15-45, a amplitude x m é dada por: x m = F m m 2 ω d 2 - ω 2 2 + b 2 ω d 2 1 / 2 onde F m é a amplitude (constante) da força alternada externa exercida sobre a mola pelo suporte rí
Neste problema, você deve deduzir a expressão para a potência média desenvolvida por uma força de excitação sobre um oscilador forçado.Mostre que a potência instantânea desenvolvida pela força de exci