Oscilações Forçadas e Ressonância
Um pêndulo de torção de massa , imerso em um meio viscoso, oscila em torno do seu ponto de equilíbrio obedecendo a seguinte equação de movimento:
Onde e .
- Determine a solução da equação do movimento considerando as seguintes restrições e
- Qual o tempo necessário para que a amplitude caia à metade?
- Calcule a amplitude da solução estacionária.
- Dadas as mesmas condições iniciais do ítem , qual o tempo necessário para que a amplitude da solução transiente seja da amplitude da solução estacionária?
Suponha agora que o pêndulo esteja sob a ação de um torque externo periódico
Passo 1
Vamos lá, não se assuste. É um pêndulo de torção e tudo mais, mas a forma de resolver isso ai é a mesma forma de sempre que usamos pra resolver MHA:
Bom, dessa última equação a gente pode tirar que:
Como:
O amortecimento é subcrítico.
Além disso, calculamos o como sendo:
Então a solução será do tipo:
Vamos às condições iniciais:
E:
Logo:
ou
Ufa! Agora vamos juntar essa bagaça toda na equação modelo:
Ou:
Passo 2
b):
Quanto tempo leva pra amplitude cair a metade? Bom, nesse tipo de questão a gente só precisa analisar a parte da equação do movimento que diz respeito à amplitude.
Isso é, a parte que está fora do cosseno ou seno:
Nós queremos descobrir o tempo que a amplitude leva pra cair a metade. Como o fator que multiplica o é a amplitude, a gente percebe que nesse caso ela vale 1.Então:
Passo 3
c):
O torque externo é:
Dai tiramos que e que
Vamos calcular a amplitude desse novo sistema de oscilação então. Pra isso, vamos usar a equação da amplitude em função de
Só temos que reparar que ali a gente precisa mudar e . A gente sempre faz essas analogias nesse tipo de questão de pêndulo de torção.
Então será:
Passo 4
d):
Pra resolver isso, basta fazermos:
Pois a solução transiente desse sistema seria aquela equação que calculamos em . Então por isso que usamos . Então:
Resposta
a):
b):
c):
d):