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Exercícios Resolvidos de Regime Transitório, Permanente e Ressonância

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Enunciado

A energia média de um oscilador fracamente amortecido, com coeficiente de amortecimento γ e frequência angular ω 0 , cai a metade após dez oscilações completas. Consequentemente, a razão ω 0 γ (fator de qualidade) vale:

  1. 20 π l n 2
  2. 10 π l n 2
  3. - 20 π l n 2
  4. 10 l n 2
  5. 5

Passo 1

O exercício está nos pedindo a razão ω 0 γ (fator de qualidade). Para isso vamos primeiro definir algumas coisas. A primeira delas é que a energia potencial relacionada à uma mola quando ela tem deslocamento máximo é:

E p = k x 2 2

Nosso enunciado diz que o oscilador é fracamente amortecido, então existe um decréscimo de energia e ele é dado pelo termo de amortecimento:

E p = k x 2 2 e - b t 2 m

Com b = γ m e T = 2 π ω .

Tá beleza, mas e daí? O que fazemos com isso?

Passo 2

Agora que já temos a nossa equação do oscilador, basta aplicarmos o que o enunciado está nos dizendo! Ele diz que a energia cai pela metade após dez oscilações completas (t=10T), então vamos pegar a equação que obtivemos no passo anterior e dividi-la por dois:

E P 2 = k x 2 2 e - γ m 10 T 2 m

Passo 3

Sabemos que a energia do oscilador é dada por k x 2 2 , logo substituindo o termo na equação acima temos:

E P 2 = E P e - γ m 10 T 2 m

1 2 = e - γ 1 0 π ω

- l n 2 = - γ 1 0 π ω

ω γ = 1 0 π l n 2

Resposta

Letra B

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