Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Passo 1

Bom, para decidirmos de a sequência é crescente ou decrescente, precisamos calcular

a n + 1 a n

E vermos que se ela é maior ou menor que 1 .

No nosso caso,

a n = n + 1 e - n

a n + 1 = n + 1 + 1 e - ( n + 1 ) = n + 2 e - n - 1

Passo 2

Agora, vamos ver

n + 2 e - n - 1 n + 1 e - n

Simplificando:

n + 2 n + 1 e

Show, vamos ver os primeiros termos dessa expressão (vamos aproximar e = 2.7 ) :

a 1 = 3 5.4

a 2 = 4 8.1

a 3 = 5 10.8

Os termos parecem estar decrescendo ou continuando o mesmo. Isso parece uma sequência não crescente. Suponhamos então

a n + 1 ≤ a n

n + 2 e - n - 1 ≤ n + 1 e - n

n + 2 ≤ n + 1 e

n + 2 ≤ n e + e →   2 ≤ n e - n + e

2 ≤ n ( e - 1 ) + e

Perceba que e - 1 é sempre positivo. Além disso, e é sempre maior que 2 , então podemos tirar o sinal de e colocar < . Portanto, essa desigualdade é verdadeira e nossa suposição estava correta: nossa sequência é decrescente.

a n + 1 < a n

Passo 3

Vamos observar se ela é superior ou inferiormente limitada. Como o primeiro termo é o máximo (a sequência é decrescente). Então, o primeiro termo pode ser a cota superior.

c o t a   s u p e r i o r = a 1 = 2 e

Dado que todos os termos são positivos, podemos dizer que a cota inferior é o 0 . Portanto, nossa sequência é limitada tanto superiormente, quanto inferiormente.

c o t a   i n f e r i o r = 0

Resposta

A sequência é decrescente, limitada inferiormente e superiormente.

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Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n