USP – Cálculo 4 – 2020.2 – P1 – Exercício 3
Considere a sequência
Assinale a alternativa correta:
a) A sequência diverge pois possui duas subsequências com limites diferentes.
b) A sequência diverge para .
c) A sequência diverge pois possui uma subsequência divergente.
d) A sequência é decrescente e limitada inferiormente, portanto converge.
e) A sequência é crescente e limitada superiormente, portanto converge.
Passo 1
Fala galerinha, beleza? Prontos para uma questão de séries?
Nesse problema temos que considerar a seguinte sequência:
A primeira coisa que vale notar sobre essa sequência é que ela é crescente, pois
Isso já nos faz descartar a alternativa D. Além disso, é fácil perceber que quando , não vai explodir para . Com isso, já descartamos a alternativa B.
Passo 2
Na real, ao percebermos que não explode para quando , nós já temos a resposta: a sequência não é divergente. Com isso, só nos resta a alternativa E.
Mas antes de fechar o problema, acho válido ressaltar um ponto importante do problema: estamos aqui analisando se a SEQUÊNCIA é convergente, não a SÉRIE. São coisas diferentes!
Na sequência, estamos olhando apenas para o termo e considerando o limite
No caso das séries, estamos olhando para a soma dos infinitos
Nesse caso, analisar a convergência da série é um pouco mais difícil, mas não precisamos nos preocupar muito pois o problema fala apenas da sequência!
Passo 3
Uma sequência é convergente se o limite a seguir não explodir para infinito:
Sempre que uma sequência for crescente e limitada superiormente, ela será convergente. Repare que esse é o caso desse problema, pois
Logo, a sequência é limita superiormente por e é crescente. Isso nos garante que ela não vai explodir e, portanto, é convergente! Alternativa E está lindinha!
Resposta
Alternativa E.