Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Considere a sequência

10,1             10,10               10,101                 10,1010                 10,10101               10,101010           … .

Assinale a alternativa correta:

a) A sequência diverge pois possui duas subsequências com limites diferentes.

b) A sequência diverge para + ∞ .

c) A sequência diverge pois possui uma subsequência divergente.

d) A sequência é decrescente e limitada inferiormente, portanto converge.

e) A sequência é crescente e limitada superiormente, portanto converge.

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Prontos para uma questão de séries?

Nesse problema temos que considerar a seguinte sequência:

a 1 = 10,1             a 2 = 10,10               a 3 = 10,101                 a 4 = 10,1010             a 5 = 10,10101             … .

A primeira coisa que vale notar sobre essa sequência é que ela é crescente, pois

a n + 1 > a n

Isso já nos faz descartar a alternativa D. Além disso, é fácil perceber que quando n → ∞ , a n não vai explodir para + ∞ . Com isso, já descartamos a alternativa B.

Passo 2

Na real, ao percebermos que a n não explode para + ∞ quando n → ∞ , nós já temos a resposta: a sequência não é divergente. Com isso, só nos resta a alternativa E.

Mas antes de fechar o problema, acho válido ressaltar um ponto importante do problema: estamos aqui analisando se a SEQUÊNCIA é convergente, não a SÉRIE. São coisas diferentes!

Na sequência, estamos olhando apenas para o termo a n e considerando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n

No caso das séries, estamos olhando para a soma dos infinitos a n

∑ n = 1 ∞ a n

Nesse caso, analisar a convergência da série é um pouco mais difícil, mas não precisamos nos preocupar muito pois o problema fala apenas da sequência!

Passo 3

Uma sequência é convergente se o limite a seguir não explodir para infinito:

lim n → ∞ ⁡ a n = L ,                 L     f i n i t o

Sempre que uma sequência for crescente e limitada superiormente, ela será convergente. Repare que esse é o caso desse problema, pois

a n < 10,2

Logo, a sequência é limita superiormente por 10,2 e é crescente. Isso nos garante que ela não vai explodir e, portanto, é convergente! Alternativa E está lindinha!

Resposta

Alternativa E.

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n