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Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Seja ( x n ) n ∈   N   a sequência definida de forma recorrente por x n = 1 2 x n - 1 + 3 x n - 1 , para n > 1 e x 1 = 2 .

b   Prove que a sequência ( x n ) n ∈   N é limitada e decrescente.

Passo 1

Para afirmar que é decrescente, precisamos ter x n ≤ x n - 1 ∀ n > 1 . Então

x n - x n - 1 ≤ 0                       ⇒                   1 2 x n - 1 + 3 x n - 1 - x n - 1 ≤ 0

Simplificando um pouco...

x n - 1 2 + 3 2 x n - 1 - x n - 1 ≤ 0                   →           -   x n - 1 2 + 3 2 x n - 1 ≤ 0                  

Colocando sobre o mesmo denominador...

- x n - 1 2 + 3 2 x n - 1 ≤ 0               →           - x n - 1 ⋅ x n - 1 2 x n - 1 + 3 2 x n - 1 ≤ 0               →

-     x 2 n - 1 + 3 2 x n - 1 ≤ 0                  

Passando esse 2 x n - 1 pro outro lado multiplicando o 0 ...

-     x 2 n - 1 + 3 2 x n - 1 ≤ 0         ⇒               - x n - 1 2 + 3 ≤ 0   ⇒    

Logo, resolvendo a inequação do segundo grau...

x n - 1 ≥ 3

Passo 2

Sendo assim, x n - x n - 1 ≤ 0   ⇔     x n - 1 ≥ 3 , ∀ n > 1 . Se provarmos que esta sequência é limitada inferiormente por 3 , provamos que ela é decrescente.

Vamos provar por absurdo que x n ≥ 3 , ∀ n ≥ 1 . Suponha que x m < 3 para algum m :

x m < 3 ⇒   1 2 x m - 1 + 3 x m - 1 < 3

x m - 1 2 + 3 < 2 3 x m - 1   ⇒     x m - 1 2 - 2 3 x m - 1 + 3 < 0

x m - 1 - 3 2 < 0

Chegamos ao quadrado de alguma coisa sendo MENOR que zero. Isso não faz sentido algum, estamos tratando de números reais (Lembre-se de que x 2 ≥ 0 para x ∈ R ). Logo, como é impossível x n < 3 , temos que x n ≥ 3 .

Provamos que ela é decrescente e limitada.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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