Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Seja x n n ≥ 1 a sequência dada por:

x 1 = x 2 = 1 e 1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n

Mostre que esta sequência é convergente, e determine o valor do termo da sequência quando n → ∞

Passo 1

A gente tem que olhar as características dessa função para provar que ela é convergente, vamos ver isso:

1 x n + 2 = 1 x n + 1 + 1 x n > 1 x n + 1

Daí temos que:

x n + 2 < x n + 1

Assim, a sequência é decrescente. E também sabemos que ela é necessariamente maior que 0 , logo é limitada inferiormente. Consequentemente ela é convergente.

Pela teoria, como ela é convergente:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

Onde L é um número real, substituindo na relação de recorrência:

1 L = 1 L + 1 L → 1 L = 0

Isso só é válido de L → ∞ , mas isso é um absurdo, pois L deve ser um número real, logo:

L = 0

Resposta

Assim, a sequência é decrescente. E também sabemos que ela é necessariamente maior que 0 , logo é limitada inferiormente. Consequentemente ela é convergente.

E L = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n