Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

Enunciado

Supondo que a sequência seja convergente, calcule seu limite.

Cara, se estamos supondo que a sequência é convergente, então é certo afirmar que:

Então vamos aplicar isso naquele termo ali em cima:

Pensa comigo: se o , é verdade que . Substituindo na equação:

E agora é fazer as contas e descobrir que limite é esse!

Maneiro. Agora encontramos dois valores para , mas somente um é o correto. Para fazer isso, vamos usar o Princípio da Indução Finita. Repara que:

Supondo que o , temos que

O que nos indica que , já que estamos tratando apenas de termos positivos.

Prove que é limitada e decrescente.

Bom, já vimos na letra que , e para mostrarmos que a sequência é decrescente, temos que mostrar que :

Então temos que . ou seja, se provarmos que a sequência é limitada inferiormente por , provamos que a sequência é decrescente.

Vamos usar novamente o Princípio da Indução Finita para provar :

Supondo que vamos mostrar que :

Ou seja, .

Portanto, a sequência é decrescente e limitada inferiormente por .

Justifique por que é convergente.

Cara, como já provamos na letra que a sequência é decrescente e limitada inferiormente, pelo Teorema da Sequência Monótona, ela é convergente.

A sequência é decrescente e limitada inferiormente por .

Como a sequência é decrescente e limitada inferiormente, pelo Teorema da Sequência Monótona, ela é convergente.