Mostre que a sequência
é monótona e limitada (determine se é não-crescente ou não-decrescente e dê uma cota inferior e uma cota superior). Ela é convergente ou divergente? (Não se esqueça de justificar.)
Passo 1
Primeiro, vamos tomar o termo geral:
E calcular os primeiros termos:
Isso mostra que os termos estão decrescendo ou permanecendo o mesmo. Isso parece uma sequência não crescente.
Passo 2
Então, queremos ver se :
Portanto,
Como isso é sempre verdade já que , a afirmação é verdadeira e a sequência é monótona não crescente.
Passo 3
Como o primeiro termo é o máximo (a sequência é não crescente), ele pode ser uma cota superior ().
Uma cota inferior pode ser o (não incluído), pois todos os termos devem ser positivos: .
Como existe uma cota inferior e uma superior, concluímos que a sequência é limitada.
Passo 4
Finalmente, segue do teorema que se a sequência é monótona e limitada, então ela é convergente.
Resposta
Monótona não crescente; ; ; limitada; convergente.