Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Passo 1

Primeiramente, vamos relembrar como calculamos o limite de uma sequência a n n = 1 ∞ :

lim n → ∞ ⁡ a n

No nosso caso, ficamos com:

lim n → ∞ ⁡ x 1 / n

Se esse limite existe e for um número, a sequência converge e o limite dela é este número. Caso contrário, ela diverge.

Passo 2

Como queremos que esse limite seja um número, vamos ver para quais valores de x isso dá certo:

x < 0 :

lim n → ∞ ⁡ x 1 n = lim n → ∞ ⁡ x n

Então, se x for negativo, esse limite será indeterminado, pois se o n for par, estaremos tratando de números complexos, e se n for ímpar, estaremos tratando de números negativos. Ou seja, não há um limite.

x > 0 :

lim n → ∞ ⁡ x 1 n = lim n → ∞ ⁡ x 0 = 1

Repare que o expoente tende a zero. Para x > 0 , x 0 = 1 . Portanto, é convergente e converge pra 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n