UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 27
Se , então a sequência converge a:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? O enunciado nos deu uma sequência
E perguntou para onde a sequência converge.
Bom, primeiro vamos entender o que significa uma sequência convergir ou não. Uma sequência é como se fosse uma fileira de números , cada um com sua posição .
Esses números estão relacionados por meio da função do termo geral . Essa função foi dada e é aquele . Os elementos dessa sequência são determinados substituindo o número correspondente (1,2,3... apenas números inteiros positivos, pertencem ao conjunto dos naturais) na função do termo geral.
Determinar se uma sequência converge ou não é analisar o limite dessa função quando é gigantesco, ou melhor, quando
E aqui valem as mesmas regras para limites que você viu lá no cálculo
Dizemos que a sequência converge quando o resultado desse limite for um número. Se der quer dizer que essa sequência diverge.
Beleza?
Passo 2
Vamos começar analisando o limite de para .
Nosso termo geral é:
Preciso decifrar esse termo antes de aplicar o limite.
O símbolo de somatório significa que à medida que varia (e ele varia de 1 em 1, começando em e vai até algum número natural ) o termo geral é a soma dos termos anteriores. Por exemplo, se , então nosso termo geral é
Se então nosso termo geral é:
Quanto maior for nosso , mais termos vamos ter de somar dentro dos colchetes. No entanto, os valores são menores enquanto que a fração que multiplica os colchetes é cada vez mais próximo de zero.
Assim, quando
Passo 3
Como falei no passo 1: calculando o limite do termo geral dele quando , se esse limite é finito, essa sequência converge, se não ela diverge.
Sendo assim, temos um valor finito no limite, significa que essa sequência converge. O enunciado era assim
“Se , então a sequência converge a”
Então a resposta correta é: 0
Tranquilo? Espero ter ajudado!
Até a próxima!