Passo 1

Para verificar se a sequência é crescente ou decrescente, podemos olhar pra derivada da função relacionada a ela. Nada mais é do que você trocar n por x e derivar normalmente. Se a derivada for maior que zero, ela é crescente, se não, é decrescente.

f x = 2 x + cos ⁡ x

f ' x = 2 - s e n x

Dado que s e n x é no máximo 1 e no mínimo - 1 , a derivada vai ser no máximo 3 e no mínimo 1 , que é maior que 0 . Logo, a função e a sequência são sempre crescentes.

Passo 2

Para vermos se é limitada superiormente, vamos calcular o limite quando n → ∞

lim n → ∞ ⁡ 2 n + cos ⁡ n

Como temos uma função periódica, vamos usar o Teorema do Confronto:

- 1 ≤ cos ⁡ n ≤ 1

2 n - 1 ≤ 2 n + cos ⁡ n ≤ 1 + 2 n

E agora aplicamos o limite em todos os termos:

lim n → ∞ ⁡ 2 n - 1 ≤ lim n → ∞ ⁡ 2 n + cos ⁡ n ≤ lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1

∞ ≤ lim n → ∞ ⁡ 2 n + cos ⁡ n ≤ ∞

lim n → ∞ ⁡ 2 n + cos ⁡ n = ∞

Logo, não temos uma cota superior. Podemos utilizar o primeiro termo como cota inferior ou algum número menor próximo dele, já que todos os termos são maiores que ele.

a 1 = 2 + cos ⁡ 1

Perceba que é sempre maior que 1 . Logo, é inferiormente limitada.

Resposta

A sequência é crescente e limitada inferiormente.

Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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