Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Seja a n n ∈ N a sequência definida por

a n = n n 2 + 2

  1. Se f x = x x 2 + 2 para x > 0 , determine f ' ( x )
  2. A sequência a n = n n 2 + 2 é decrescente, para n ≥ 2 ? Sim ou Não?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência a n e pediu duas coisas

  • Na letra (a) deu uma função igualzinha à sequência e pediu a derivada dessa função: aqui não tem muito mistério, tem que ter memória mesmo! Lembrar lá de cálculo 1! É só derivar essa função, usando todas as regrinhas que você viu lá
  • E na letra (b) perguntou se a sequência é decrescente.

Para identificarmos se uma sequência é decrescente ou não, precisamos olhar para o limite do seu termo geral e ver se ele cresce ou não.

O termo geral de uma sequência é aquele a n que ele deu, e saber se o termo geral cresce ou significa saber se o termo posterior é maior do que o termo anterior

Chamamos uma sequência de crescente quando

a n + 1 > a n

E de decrescente quando

a n + 1 < a n

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

Letra (a)

A função f ( x ) é

f x = x x 2 + 2

Para derivar é só aplicar a regra do quociente:

f ' x = 1 . x 2 + 2 - 2 x . x x 2 + 2 2

f ' x = 2 - x 2 x 2 + 2 2

Prontinho! Essa é a derivada da função f ( x ) .

Passo 3

Agora vamos para letra (b).

Nosso termo geral é

a n = n n 2 + 2

O problema perguntou se essa sequência é decrescente para n ≥ 2 , então significa que para ser decrescente

a 2 > a 3 > a 4 > … > a n > a n + 1

Então a ideia aqui é calcular cada um desses termos e verificar se essa desigualdade é satisfeita

Começando com n = 2

a 2 = 2 4 + 2   = 2 6 = 1 3 = 0,333 …

Agora com n = 3

a 3 = 3 9 + 2 = 3 11 = 0,2727 …

Com n = 4

a 4 = 4 18 = 0,2222 …

Com n = 5

a 5 = 5 27 = 0,185185 …

Podemos perceber que à medida que n aumenta, o valor de a n é cada vez menor, sendo assim

a 2 > a 3 > a 4 > … > a n > a n + 1

Então é correto afirmar que essa sequência é SIM decrescente!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a )   f ' x = 2 - x 2 x 2 + 2 2

b )   S i m

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n