Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Se uma sequência a n n ∈ N satisfaz:

  1. 0 ≤ a 1
  2. a n + 1 = a n + 4 2 para todo n ≥ 1

Então a sequência a n n ∈ N converge?

Escolha uma opção:

Verdadeiro

Falso

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu duas informações sobre uma sequência

  1. 0 ≤ a 1
  2. a n + 1 = a n + 4 2 para todo n ≥ 1

E nos perguntou se essa sequência converge.

Uma sequência é convergente quando o limite existe e vale um número. E ela é divergente quando esse limite não existe ou estoura para o infinito.

Mas não temos a cara dessa sequência para poder avaliar ela no infinito! E agora?

Calma! Uma sequência também é convergente quando a n + 1 < a n

Então a ideia aqui é verificar se os termos dessa sequência vão sempre diminuindo, assumindo que a 1 ≥ 0 .

Beleza?

Vamos fazer juntos?

Passo 2

O problema nos disse que

a n + 1 = a n + 4 2

Digamos que a 1 = 2 , vamos ver como seriam os próximos termos dessa sequência?

a 2 = a 1 + 4 2 = 2 + 4 2 = 6 2 = 3

a 3 = a 2 + 4 2 = 3 + 4 2 = 7 2 = 3,5

a 4 = a 3 + 4 2 = 3,5 + 4 2 = 7,5 2 = 3,75

a 5 = a 4 + 4 2 = 3,75 + 4 2 = 3,875

a 6 = a 5 + 4 2 = 3,875 + 4 2 = 3,9375

a 7 = a 6 + 4 2 = 3,9375 + 4 2 = 3,96875

você percebe que os termos vão aumentando, mas cada vez menos?

Passo 3

E o que será que isso quer nos dizer?

Isso significa que nossa sequência é limitada, ou seja, no infinito, ela tem um limite finito.

Como falei para você lá no passo 1, uma sequência é convergente quando o limite dela no infinito é um número, lembra?

Então é o que temos aqui!

A nossa sequência cada vez aumenta mais, mas nunca chega a 4 ! Sempre aumenta uma casa decimal à esquerda da vírgula, mas não à direita!

E isso significa que

lim n → ∞ ⁡ a n = 4

Sendo assim essa sequência é convergente!

E a afirmação do exercício é VERDADEIRA

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

V e r d a d e i r a

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n