Seja a sequência dada por:
e
Mostre que esta sequência é convergente, e determine o valor do termo da sequência quando
Passo 1
A gente tem que olhar as características dessa sequência para provar que ela é convergente.
Lembra aqui comigo: se uma sequência é sempre crescente ou sempre decrescente ela é chamada monótona. Vamos ver se a nossa sequência é monótona.
Daí temos que:
Assim, a sequência é sempre decrescente e portanto monótona.
Beleza, e aí tem um teorema não sei das quantas que diz que uma sequência monótona só é convergente se ela for limitada.
Beleza, então temos que provar que essa sequência é limitada.
Passo 2
Se a sequência é descrescente todo mundo vai ser menor que , concorda? E como , todo mundo vai ser menor que 1, então a sequência já é limitada superiormente.
Agora temos que ver se ela é limitada inferiormente. Nós sabemos:
e
Como os termos são todos positivos, essa sequência vai ser sempre maior que zero. Então ela também é limitada inferiormente.
Passo 3
Show, agora vamos calcular o limite:
Vamos isolar :
Beleza, agora manipulando um pouco:
Chamando todos esses limites de L:
Beleuza.
Resposta
A sequência é convergente porque é monótona (sempre decrescente) e limitada superior e inferiormente.