UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 9 – Questão 21
Seja a sequência cujo enésimo termo é definido por
Em relação à sua convergência é correto dizer
( ) , para todo
( ) A sequência diverge para
( ) A sequência é crescente
( ) A sequência converge a 0
( )
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma sequência e perguntou quais alternativas estão corretas
( ) , para todo
( ) A sequência diverge para
( ) A sequência é crescente
( ) A sequência converge a 0
( )
Uma sequência é crescente se , ou seja, se a soma parcial sempre vai aumentando. E se ela é crescente, tem grandes chances de no infinito, essa soma estourar para infinito! Então analisando as somas parciais, já conseguimos analisar quais alternativas estão corretas ou não.
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Vamos lá?
Passo 2
Vamos começar analisando nossa série
Supondo que , então o valor de vai ser dado apenas pelo termo com :
Agora com , a soma vai ser dada pelo valor anterior, mais o termo com :
Mas como temos que é:
Note que conseguimos cancelar o termo quando fizemos a soma de . Vamos ver o que acontece com ?
Seguindo a mesma lógica, podemos dizer que
Para qualquer valor de .
Sendo assim, temos que a primeira alternativa está correta! Bora marcar ela!
, para todo
Passo 3
A segunda e terceiras alternativas são:
( ) A sequência diverge para
( ) A sequência é crescente
Como sabemos o , podemos verificar se a sequência é crescente ou não e se ela diverge ou não.
Nosso é:
E quando somamos em temos:
Para ser crescente precisamos ter :
E independentemente do valor de (aqui n é inteiro e positivo apenas), verificamos a desigualdade. Então essa sequência é sim crescente
E como
No infinito
Então a sequência não só é crescente, como diverge para infinito!
Assim podemos marcar como corretas as alternativas 2 e 3:
(X) A sequência diverge para
(X) A sequência é crescente
Passo 4
As duas últimas alternativas são:
( ) A sequência converge a 0
( )
E estão erradas, já que são diferentes do que a gente acabou de calcular.
Então precisamos marcar apenas as três primeiras alternativas:
(X) , para todo
(X) A sequência diverge para
(X) A sequência é crescente
( ) A sequência converge a 0
( )
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!
Resposta
(X) , para todo
(X) A sequência diverge para
(X) A sequência é crescente
( ) A sequência converge a 0
( )