Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Passo 1

Bom, para decidirmos se a sequência é crescente ou decrescente, precisamos calcular

a n + 1 a n

E vermos que se ela é maior ou menor que 1 .

No nosso caso,

a n = n

a n + 1 = n + 1

Passo 2

Agora, vamos ver

n + 1 n

Bom, não é tão óbvio, mas podemos olhar o quadrado dessa expressão. Se o quadrado dessa expressão for maior que 1 , essa expressão também será!

n + 1 n = 1 + 1 n

Perceba que essa expressão é maior que 1 , pois temos 1 mais alguma parcela ali somando. Sendo assim:

a n + 1 a n > 1

a n + 1 > a n

Então nossa sequência é crescente.

Passo 3

Agora vamos ver se ela é limitada superiormente ou inferiormente. Vamos ver se ela tem limite pra n → ∞ . Caso tenha, ela terá um limite superior.

lim n → ∞ ⁡ n = ∞

Perceba que ela vai pra infinito. Logo, não tem limite superior. Vamos pensar no limite inferior. Concorda comigo que a n = n é SEMPRE maior que 0 (para todo n > 0 )? Todos os caras da sequência são maiores que ele. Logo, a sequência é limitada inferiormente pelo 0 .

Resposta

A sequência é crescente e limitada inferiormente.

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
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Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n