UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 9 – Questão 22
Seja a sequência cujo enésimo termo é definido por
Em relação à sua convergência é correto dizer
( ) , para todo
( )
( ) A sequência é crescente
( ) A sequência converge a 0
( ) A sequência diverge para
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma sequência e perguntou quais alternativas estão corretas
( ) , para todo
( )
( ) A sequência é crescente
( ) A sequência converge a 0
( ) A sequência diverge para
Uma sequência é crescente se , ou seja, se a soma parcial sempre vai aumentando. E se ela é crescente, tem grandes chances de no infinito, essa soma estourar para infinito! Então analisando as somas parciais, já conseguimos analisar quais alternativas estão corretas ou não.
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Vamos lá?
Passo 2
Vamos começar analisando nossa série
Vou abrir primeiro esse logaritmo em dois termos, usando a propriedade
Supondo que , então o valor de vai ser dado apenas pelo termo com :
Agora com , a soma vai ser dada pelo valor anterior, mais o termo com :
Mas como temos que é:
Note que conseguimos cancelar o termo quando fizemos a soma de .
Vamos ver o que acontece com ?
Seguindo a mesma lógica, podemos dizer que
Para qualquer valor de .
Sendo assim, temos que a primeira alternativa está correta! Bora marcar ela!
(X) , para todo ,
E com isso a segunda alternativa está errada.
Passo 3
As três últimas alternativas são:
( ) A sequência é crescente
( ) A sequência converge a 0
( ) A sequência diverge para
Como sabemos o , podemos verificar se a sequência é crescente ou não e se ela diverge ou não.
Nosso é:
E quando somamos em temos:
Para ser crescente precisamos ter :
E isso é verificado para todo valor de positivo (que é nosso caso, pois assume apenas números inteiros e positivos)
Agora para verificar se essa sequência diverge ou não, precisamos calcular o limite dela no infinito
No infinito
Então a sequência não só é crescente, como diverge para infinito!
Assim podemos marcar como corretas as alternativas 3 e 5:
(X) A sequência é crescente
(X) A sequência diverge para
Então precisamos marcar apenas as alternativas 1, 3 e 5:
(X) , para todo
( )
(X) A sequência é crescente
( ) A sequência converge a 0
(X) A sequência diverge para
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!
Resposta
(X) , para todo
( )
(X) A sequência é crescente
( ) A sequência converge a 0
(X) A sequência diverge para