Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Seja s n n ∈ N a sequência cujo enésimo termo é definido por

s n = ∑ k = 2 n ln ⁡ k k + 1 ,   p a r a   t o d o   n ≥ 2

Em relação à sua convergência é correto dizer

( ) s n = ln ⁡ n , para todo n ≥ 2

( ) s n = ln ⁡ ( n + 1 ) - 1

( ) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

( ) A sequência diverge para

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência s n = ∑ k = 2 n ln ⁡ k k - 1 e perguntou quais alternativas estão corretas

( ) s n = ln ⁡ n , para todo n ≥ 2

( ) s n = ln ⁡ ( n + 1 ) - 1

( ) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

( ) A sequência diverge para

Uma sequência é crescente se s n < s n + 1 , ou seja, se a soma parcial sempre vai aumentando. E se ela é crescente, tem grandes chances de no infinito, essa soma estourar para infinito! Então analisando as somas parciais, já conseguimos analisar quais alternativas estão corretas ou não.

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

Vamos começar analisando nossa série

s n = ∑ k = 2 n ln ⁡ k k - 1

Vou abrir primeiro esse logaritmo em dois termos, usando a propriedade ln ⁡ A B = ln ⁡ A - ln ⁡ B :

s n = ∑ k = 2 n ln ⁡ k - ln ⁡ ( k - 1 )

Supondo que n = 2 , então o valor de s 2 vai ser dado apenas pelo termo com k = 2 :

s 2 = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1 = ln ⁡ 2

Agora com n = 3 , a soma vai ser dada pelo valor anterior, mais o termo com k = 2 :

s 3 = s 2 + ln ⁡ 3 - ln ⁡ 2

Mas como s 2 = ln ⁡ 2 temos que s 3 é:

s 3 = ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 + ln ⁡ 3 = ln ⁡ 3

Note que conseguimos cancelar o termo ln ⁡ 2 quando fizemos a soma de s 3 .

Vamos ver o que acontece com s 4 ?

s 4 = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 + s 2 = ln ⁡ 4 - ln ⁡ 3 + ln ⁡ 3

s 4 = ln ⁡ 4

Seguindo a mesma lógica, podemos dizer que

s n = ln ⁡ n

Para qualquer valor de n ≥ 2 .

Sendo assim, temos que a primeira alternativa está correta! Bora marcar ela!

(X) s n = ln ⁡ n , para todo n ≥ 2 ,

E com isso a segunda alternativa está errada.

Passo 3

As três últimas alternativas são:

( ) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

( ) A sequência diverge para

Como sabemos o s n , podemos verificar se a sequência é crescente ou não e se ela diverge ou não.

Nosso s n é:

s n = ln ⁡ n

E quando somamos + 1 em n temos:

s n + 1 = ln ⁡ ( n + 1 )

Para ser crescente precisamos ter s n + 1 > s n :

ln ⁡ ( n + 1 ) > ln ⁡ n

E isso é verificado para todo valor de n positivo (que é nosso caso, pois n assume apenas números inteiros e positivos)

Agora para verificar se essa sequência diverge ou não, precisamos calcular o limite dela no infinito

s n = ln ⁡ n

No infinito

s ∞ = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n = ∞  

Então a sequência não só é crescente, como diverge para infinito!

Assim podemos marcar como corretas as alternativas 3 e 5:

(X) A sequência é crescente

(X) A sequência diverge para

Então precisamos marcar apenas as alternativas 1, 3 e 5:

(X) s n = ln ⁡ n , para todo n ≥ 2

( ) s n = ln ⁡ ( n + 1 ) - 1

(X) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

(X) A sequência diverge para

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

(X) s n = ln ⁡ n , para todo n ≥ 2

( ) s n = ln ⁡ ( n + 1 ) - 1

(X) A sequência é crescente

( ) A sequência converge a 0

(X) A sequência diverge para

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n