Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Se b n = 1 n , 1 2 n ,   … , 1 n n - 1 + 1 n 2 , então a sequência b n n ∈ N converge a:

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar? O enunciado nos deu uma sequência b n

b n = 1 n , 1 2 n ,   … , 1 n n - 1 + 1 n 2

E perguntou para onde a sequência b n n ∈ N converge.

Bom, primeiro vamos entender o que significa uma sequência convergir ou não. Uma sequência é como se fosse uma fileira de números b n , cada um com sua posição n .

Esses números estão relacionados por meio da função do termo geral b n . Essa função foi dada e é aquele b n . Os elementos dessa sequência são determinados substituindo o número n correspondente (1,2,3... apenas números inteiros positivos, pertencem ao conjunto dos naturais) na função do termo geral.

Determinar se uma sequência converge ou não é analisar o limite dessa função quando n é gigantesco, ou melhor, quando n → ∞

E aqui valem as mesmas regras para limites que você viu lá no cálculo

Dizemos que a sequência converge quando o resultado desse limite for um número. Se der quer dizer que essa sequência diverge.

Beleza?

Passo 2

Então aqui a ideia é a seguinte: pegar esse termo geral e calcular o limite dele quando n → ∞ e verificar se esse limite é finito, se for ela converge, se não ela diverge.

Como o problema perguntou para qual valor a sequência converge, é bem possível que essa sequência seja convergente e queremos descobrir qual é o valor do limite mesmo.

Passo 3

Calculando o limite de b n :

lim n → ∞ ⁡ 1 n , 1 2 n ,   … , 1 n n - 1 + 1 n 2

Cada termo dessa sequência tem um polinômio em n no denominador e apenas o 1 no numerador.

Sendo assim, à medida que n aumenta, cada termo vai à zero, levando a sequência toda a convergir para zero.

Tranquilo?

Como esse limite é finito, dizemos que essa sequência converge. E mais! Converge para 0 .

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

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Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n