Verifique se existe
Passo 1
Bem bem, percebe que ele pede pra verificar se o limite existe, não necessariamente calcular ele.
A outra alternativa é ver se esse termo é decrescente e se ele é limitado inferiormente, isso garante que o limite existe.
Se for crescente e for limitado inferiormente o limite não vai existir.
Passo 2
Para ver se é crescente ou decrescente vamos analisar:
Vai ser:
Podemos cortar um monte de gente e isso vai ficar assim:
Então:
Como o numerador é menor que o denominador temos
E tchã! Graças ao paranauê, provamos que ela é decrescente.
Passo 3
Vamos ver agora como mostramos que ela tem um limite inferior, repara que temos um produto gigante, começando com então essa multiplicação toda vai ser maior que
Como ela é limitada inferiormente e é decrescente ela converge.
Mas não foi isso que o enunciado perguntou, não é mesmo?
Ele perguntou se o limite existe. Não pediu pra calcular, só perguntou se existe! E como provamos que a série é monótona limitada, ela converge. E como ela converge, o limite existe.
Resposta
O limite existe.