UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 9 – Questão 13
Seja a sequência definida por
- Se para , determine
- A sequência é decrescente, para ? Sim ou Não?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma sequência e pediu duas coisas
- Na letra (a) deu uma função igualzinha à sequência e pediu a derivada dessa função: aqui não tem muito mistério, tem que ter memória mesmo! Lembrar lá de cálculo 1! É só derivar essa função, usando todas as regrinhas que você viu lá
- E na letra (b) perguntou se a sequência é decrescente.
Para identificarmos se uma sequência é decrescente ou não, precisamos olhar para o limite do seu termo geral e ver se ele cresce ou não.
O termo geral de uma sequência é aquele que ele deu, e saber se o termo geral cresce ou significa saber se o termo posterior é maior do que o termo anterior
Chamamos uma sequência de crescente quando
E de decrescente quando
Mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Vamos lá?
Passo 2
Letra (a)
A função é
Para derivar é só aplicar a regra do quociente:
Prontinho! Essa é a derivada da função .
Passo 3
Agora vamos para letra (b).
Nosso termo geral é
O problema perguntou se essa sequência é decrescente para , então significa que para ser decrescente
Então a ideia aqui é calcular cada um desses termos e verificar se essa desigualdade é satisfeita
Começando com
Agora com
Com
E podemos fazer isso sempre, para , ...
Com
Podemos perceber que à medida que aumenta, o valor de é cada vez maior, sendo assim
E a sequência é CRESCENTE!
Então é correto afirmar que essa sequência NÃO é decrescente!
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!