UFMG, Sem Campus, Cálculo 2, P1 - 2023.1, Questão 1ii
1) Seja uma sequência definida pelas seguintes relações: para todo e .
ii) Sabendo que para todo número real tal que , vale que , argumente, usando o Teorema das Sequências Monótonas, que a sequência é convergente.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, temos a sequência dada por e um número real contido entre e e que satisfaz a inequação . Nosso trabalho é provar que a sequência é convergente.
Tem ideia do que fazer? 👀
O Teorema das Sequências Monótonas nos diz que seja uma sequência crescente ou decrescente para todo e limitado inferiormente e superiormente a sequência é convergente.
Vamos ver o que conseguimos fazer... 😐
Passo 2
a partir de , temos que a sequência é dada fazendo
Dessa igualdade, vemos que , portanto a sequência é crescente.
Beleza, o primeiro quesito foi satisfeito!
E pelo que vemos do termo , a sequência segue entre e pois e ou seja, quanto maior , mais próximo de está o denominador, ou seja, é limitado superiormente em .
Então converge!
Veja só, seguindo a sequência a partir do termo ...
Ou seja, se aproxima cada vez mais de . Logo, a sequência converge.
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
converge