1) Seja a_n uma sequência definida pelas seguintes relações: a_{n+1} = raiz(a_n) para todo n ∈ N e a₁ = 1 / 64 .

ii) Sabendo que para todo número real r tal que 0 < r < 1 , vale que r < raiz(r) < 1 , argumente, usando o Teorema das Sequências Monótonas, que a sequência é convergente.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos a sequência dada por a n + 1 = a n e um número real r contido entre 0 e 1 e que satisfaz a inequação r < r < 1 . Nosso trabalho é provar que a sequência é convergente.

Tem ideia do que fazer? 👀

O Teorema das Sequências Monótonas nos diz que seja uma sequência a n crescente ou decrescente para todo n ∈ N e limitado inferiormente e superiormente a sequência a n é convergente.

Vamos ver o que conseguimos fazer... 😐

Passo 2

a partir de a n + 1 = a n , temos que a sequência é dada fazendo n → n - 1

a n - 1 + 1 = a n - 1

a n = a n - 1

Dessa igualdade, vemos que a n > a n - 1 , portanto a sequência é crescente.

Beleza, o primeiro quesito foi satisfeito!

E pelo que vemos do termo a 1 , a sequência segue entre 0 e 1 pois a 1 = 1 64 e a n = a n - 1 ou seja, quanto maior n , mais próximo de 1 está o denominador, ou seja, a n é limitado superiormente em 1 .

Então a n converge!

Veja só, seguindo a sequência a partir do termo a 1 ...

a 0 , 1 64 , 1 8 , 1 2,82 , 1 1,68 , 1 1,29 , 1 1,13 , 1 1,06 …

Ou seja, a n se aproxima cada vez mais de 1 1 = 1 . Logo, a sequência converge.

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

a n converge

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