UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 9 – Questão 11
Seja a sequência definida por
- Se para , determine
- A sequência é decrescente, para ? Sim ou Não?
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma sequência e pediu duas coisas
- Na letra (a) deu uma função igualzinha à sequência e pediu a derivada dessa função: aqui não tem muito mistério, tem que ter memória mesmo! Lembrar lá de cálculo 1! É só derivar essa função, usando todas as regrinhas que você viu lá
- E na letra (b) perguntou se a sequência é decrescente.
Para identificarmos se uma sequência é decrescente ou não, precisamos descobrir de o seu termo geral cresce ou não.
O termo geral de uma sequência é aquele que ele deu, e pra saber se o termo geral cresce ou não, temos ue fazer o limite da razão do termo posterior pelo termo anterior, assim:
Se esse limite for , quer dizer que o numerador é maior que o denominador, então os termos dessa sequência aumentam no infinito, e aí dizemos que a sequência é crescente
Se o limite for , significa exatamente o oposto: os termos dessa sequência vão cada vez mais diminuindo, ou seja, essa é uma sequência decrescente
mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Vamos lá?
Passo 2
Letra (a)
A função é
Para derivar é só aplicar a regra do produto:
Prontinho! Essa é a derivada da função .
Passo 3
Agora vamos para letra (b).
Nosso termo geral é
E nosso termo posterior é:
Agora vou fazer a razão
E agora vamos calcular o limite dessa razão quando (e aqui valem todas as regras de limites que você aprendeu lá em cálculo 1 ok?)
Como surgiu uma indeterminação do tipo , podemos aplicar a regra de L’hopital e derivar em cima e embaixo e avaliar novamente o limite. Caso surja outra indeterminação, deriva de novo até levantar essa indeterminação!
Mas vamos derivar a primeira vez e torcer para que saia logo de cara essa indeterminação:
Opa! Deu certo! Conseguimos calcular esse limite e ele deu um valor menor do que 1! Isso significa que os termos dessa sequência vão diminuindo cada vez mais!
Então é correto afirmar que essa sequência é SIM decrescente!
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!