UTFPR. Campus Londrina. Cálculo 3. Listas de Estudos. 2022.2. Questão 2a.
2 – Seja .
a) Determine se é convergente.
Repita a análise para , isto é, estude a convergência de .
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema temos duas sequências para verifica suas convergências.
A primeira chamamos de
Já a segunda é dada como
Lembra como fazemos para determinar a convergência de uma sequência? 🤔
Dizemos que uma sequência converge quando cresce e tende a um valor constante.
De maneira mais palpável, dizemos que uma sequência converge se o limite de , para tendendo ao infinito, é igual a uma constante
Entendeu? Bora ver nos nossos casos! 😁
Passo 2
Primeiro vamos analisar .
Calculando seu limite, temos
Se substituirmos por , vamos chegar em uma indeterminação , então o que podemos fazer nesse caso é aplicar a regra de L’Hopital.
Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite.
A derivada de é obtida pelo método de derivação polinomial
Já a derivada de é obtida pela regra do produto já que e são duas funções de .
Esse método possui uma fórmula dada por
No caso de fica como
A derivada de calculamos pelo método de derivação polinomial e a derivada de é obtida pela regra do expoente da derivada .
Assim, temos
Substituindo no limite, temos
Ao fazermos tender a , vemos que o denominador tende a , resultando em
Ou seja, um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, então podemos dizer que é igual a
Portanto o limite de quando é igual a , ou seja, converge para .
Tranquilo até aqui? 👍
Passo 3
Agora fazemos a mesma coisa para .
Dividindo todos os termos por , vamos obter
Fazendo tender ao infinito, temos
Perceba que e segue a mesma ideia do passo anterior... um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, o resultado disso é um número tão pequeno que podemos dizer que é .
Assim, vemos que também converge e converge para quando tende a .
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
converge para .
converge para .