Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

2 – Seja a n = n + 1 n 3 n .

a) Determine se a n é convergente.

Repita a análise para b n = n + 1 2 n n + 2 , isto é, estude a convergência de b n .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos duas sequências para verifica suas convergências.

A primeira chamamos de

a n = n + 1 n 3 n

Já a segunda é dada como

b n = n + 1 2 n n + 2

Lembra como fazemos para determinar a convergência de uma sequência? 🤔

Dizemos que uma sequência converge quando n cresce e a n tende a um valor constante.

De maneira mais palpável, dizemos que uma sequência converge se o limite de a n , para n tendendo ao infinito, é igual a uma constante

lim n → ∞ ⁡ a n = C

Entendeu? Bora ver nos nossos casos! 😁

Passo 2

Primeiro vamos analisar a n .

Calculando seu limite, temos

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 3 n

Se substituirmos n por , vamos chegar em uma indeterminação ∞ / ∞ , então o que podemos fazer nesse caso é aplicar a regra de L’Hopital.

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador do limite.

lim n → ∞ ⁡ d n + 1 d n d n 3 n d n

A derivada de n + 1 é obtida pelo método de derivação polinomial

d n + 1 d n = n 1 - 1 + 0 = 1

Já a derivada de n 3 n é obtida pela regra do produto já que n e 3 n são duas funções de n .

Esse método possui uma fórmula dada por

d f n · g n d n = f ' n g n + f n g ' n

No caso de n 3 n fica como

d n 3 n d n = d n d n 3 n + n d 3 n d n

A derivada de n calculamos pelo método de derivação polinomial e a derivada de 3 n é obtida pela regra do expoente da derivada d a x d x = a x ln ⁡ a .

d n d n = n 1 - 1 = 1

d 3 n d n = 3 n ln ⁡ 3

Assim, temos

d n 3 n d n = 3 n + n 3 n ln ⁡ 3

Substituindo no limite, temos

lim n → ∞ ⁡ 1 3 n + n 3 n ln ⁡ 3

Ao fazermos n tender a , vemos que o denominador 3 n + n 3 n ln ⁡ 3 tende a , resultando em

lim n → ∞ ⁡ 1 3 n + n 3 n ln ⁡ 3 = 1 ∞

Ou seja, um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, então podemos dizer que é igual a 0

lim n → ∞ ⁡ 1 3 n + n 3 n ln ⁡ 3 = 0

Portanto o limite de a n quando n → ∞ é igual a 0 , ou seja, a n converge para 0 .

Tranquilo até aqui? 👍

Passo 3

Agora fazemos a mesma coisa para b n .

lim n → ∞ ⁡ n + 1 2 n n + 2 = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n + 1 n 2 + 2 n

Dividindo todos os termos por n 2 , vamos obter

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 + 2 n n 2 + 1 n 2 n 2 n 2 + 2 n n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n + 1 n 2 1 + 2 n

Fazendo n tender ao infinito, temos

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n + 1 n 2 1 + 2 n = 1 + 2 ∞ + 1 ∞ 1 + 2 ∞

Perceba que 2 ∞ e 1 ∞ segue a mesma ideia do passo anterior... um número pequeno sendo dividido por um número muito grande, o resultado disso é um número tão pequeno que podemos dizer que é 0 .

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n + 1 n 2 1 + 2 n = 1 + 0 + 0 1 + 0 = 1

Assim, vemos que b n também converge e converge para 1 quando n tende a .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

a n converge para 0 .

b n converge para 1 .

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Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n