UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 18
Determine o termo geral da sequência abaixo
Escolha uma opção:
- , se é ímpar e , se é par
- , se é ímpar e , se é par
- , se é ímpar e , se é par
- , se é ímpar e , se é par
- , se é ímpar e , se é par
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma sequência de números
E nos perguntou qual é o termo geral
Termo geral é uma expressão algébrica envolvendo , que a gente chama de lei de recorrência, e que nos dá os elementos da sequência à medida que vai variando. Lembrando que são todos os números naturais (números inteiros e positivos) a partir do e ele indica a posição que o número ocupa e é o número em si
Uma lei de recorrência ou o termo geral é o que queremos descobrir!
No nosso caso:
E assim por diante, beleza?
Então a ideia é ir desmembrando esses termos até a gente ver qual lei de formação/termo geral se encaixa melhor
Desmembrar para nós aqui é: separar os números que ocupam as posições pares e ver se eles têm alguma relação, fazer igual com os que ocupam os lugares ímpares, verificar se entre eles há alguma relação
Passo 2
Vamos começar pegando elementos que ocupam os lugares ímpares:
Notem que os numeradores são números pares que a gente encontra fazendo , ou seja, somando +1 na posição que ele ocupa.
E os denominadores? Esses são todos números ímpares que a gente encontra fazendo , ou seja somando sempre +2 à posição que ele está. Assim o :
E o que ocupa a terceira posição:
E para confirmar nossa lei de formação: o
É isso aí! Encontramos todos os números que ocupam os lugares ímpares dessa sequência!
Vamos agora encontrar o termo geral para os termos que ocupam as posições pares?
Passo 3
Os números que ocupam os lugares pares são
Notem que a mesma posição que o número ocupa aparece no denominador. O número que ocupa a posição , o , tem um no denominador, o tem no enominador, o tem um no denominador, e assim por diante.
E o numerador? O numerador é sempre uma unidade a mais que a posição, saca só:
E com isso a gente pode dizer que o termo geral dos números pares é:
Sendo assim, a resposta correta é:
, se é ímpar e , se é par
E a alternativa que nos diz isso é a (c).
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!