Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Determine o termo geral da sequência abaixo

2 3 , 3 2 , 4 5 , 5 4 , 6 7 , 7 6 , …

Escolha uma opção:

  1. a n = n + 2 n + 1 , se n é ímpar e a n = n n + 1 , se n é par
  2. a n = n + 1 n , se n é ímpar e a n = n + 1 n + 2 , se n é par
  3. a n = n + 1 n + 2 , se n é ímpar e a n = n + 1 n , se n é par
  4. a n = n + 1 n + 2 , se n é ímpar e a n = n - 1 n , se n é par
  5. a n = n n + 2 , se n é ímpar e a n = n + 1 n , se n é par

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência de números

2 3 , 3 2 , 4 5 , 5 4 , 6 7 , 7 6 , …

E nos perguntou qual é o termo geral

Termo geral é uma expressão algébrica envolvendo n , que a gente chama de lei de recorrência, e que nos dá os elementos da sequência à medida que n vai variando. Lembrando que n são todos os números naturais (números inteiros e positivos) a partir do 1 e ele indica a posição que o número ocupa e a n é o número em si

Uma lei de recorrência ou o termo geral é o que queremos descobrir!

No nosso caso:

n = 1   a 1 = 2 3

n = 2   a 2 = 3 2

n = 3   a 3 = 4 5

n = 4   a 4 = 5 4

n = 5   a 5 = 6 7

n = 6   a 6 = 7 6

E assim por diante, beleza?

Então a ideia é ir desmembrando esses termos até a gente ver qual lei de formação/termo geral se encaixa melhor

Desmembrar para nós aqui é: separar os números que ocupam as posições pares e ver se eles têm alguma relação, fazer igual com os que ocupam os lugares ímpares, verificar se entre eles há alguma relação

Passo 2

Vamos começar pegando elementos que ocupam os lugares ímpares:

n = 1   a 1 = 2 3

n = 3   a 3 = 4 5

n = 5   a 5 = 6 7

Notem que os numeradores são números pares que a gente encontra fazendo n + 1 , ou seja, somando +1 na posição que ele ocupa.

E os denominadores? Esses são todos números ímpares que a gente encontra fazendo n + 2 , ou seja somando sempre +2 à posição que ele está. Assim o a 1 :

a 1 = 1 + 1 1 + 2 = 2 3

E o a 3 que ocupa a terceira posição:

a 3 = 3 + 1 3 + 2 = 4 5

E para confirmar nossa lei de formação: o a 5

a 5 = 5 + 1 5 + 2 = 6 7

É isso aí! Encontramos todos os números que ocupam os lugares ímpares dessa sequência!

a n = n + 1 n + 2 ,       s e   n   f o r   í m p a r

Vamos agora encontrar o termo geral para os termos que ocupam as posições pares?

Passo 3

Os números que ocupam os lugares pares são

n = 2   a 2 = 3 2

n = 4   a 4 = 5 4

n = 6   a 6 = 7 6

Notem que a mesma posição que o número ocupa aparece no denominador. O número que ocupa a posição 2 , o a 2 , tem um 2 no denominador, o a 4 tem 4 no enominador, o a 6 tem um 6 no denominador, e assim por diante.

E o numerador? O numerador é sempre uma unidade a mais que a posição, saca só:

n = 2     a 2 = 3 2 = 2 + 1 2

n = 4     a 4 = 5 4 = 4 + 1 4

n = 6     a 6 = 7 6 = 6 + 1 6

E com isso a gente pode dizer que o termo geral dos números pares é:

a n = n + 1 n ,   s e   n   p a r

Sendo assim, a resposta correta é:

a n = n + 1 n + 2 , se n é ímpar e a n = n + 1 n , se n é par

E a alternativa que nos diz isso é a (c).

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( c )

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Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
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Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n