UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 19
Determine o termo geral da sequência abaixo
Escolha uma opção:
- , se é par e , se é ímpar
- , se é par e , se é ímpar
- , se é par e , se é ímpar
- , se é par e , se é ímpar
- , se é par e , se é ímpar
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema nos deu uma sequência de números
E nos perguntou qual é o termo geral
Termo geral é uma expressão algébrica envolvendo , que a gente chama de lei de recorrência, e que nos dá os elementos da sequência à medida que vai variando. Lembrando que são todos os números naturais (números inteiros e positivos) a partir do e ele indica a posição que o número ocupa e é o número em si
Uma lei de recorrência ou o termo geral é o que queremos descobrir!
No nosso caso:
E assim por diante, beleza?
Então a ideia é ir desmembrando esses termos até a gente ver qual lei de formação/termo geral se encaixa melhor
Desmembrar para nós aqui é: separar os números que ocupam as posições pares e ver se eles têm alguma relação, fazer igual com os que ocupam os lugares ímpares, verificar se entre eles há alguma relação
Passo 2
Vamos começar pegando elementos que ocupam os lugares pares:
Notem que os numeradores são números das próprias posições, ou seja, ésimo lugar que ele ocupa.
E os denominadores? Esses achamos somando +1 na posição em que ele se encontra. Assim o :
E o que ocupa a segunda posição:
E para confirmar nossa lei de formação: o
E para o :
É isso aí! Encontramos todos os números que ocupam os lugares ímpares dessa sequência!
Vamos agora encontrar o termo geral para os termos que ocupam as posições ímpares?
Passo 3
Os números que ocupam os lugares ímpares são
Notem que o denominador é sempre uma unidade a mais que a posição que esse número ocupa. O tem denominador , o tem denominador , o tem denominador , sempre fazendo embaixo.
E o numerador? O numerador é sempre duas unidades a mais que a posição, saca só:
E com isso a gente pode dizer que o termo geral dos números pares é:
Sendo assim, a resposta correta é:
e
E a alternativa que nos diz isso é a (e).
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!