Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Determine o termo geral da sequência abaixo

0 , 3 2 , 2 3 , 5 4   , 4 5 , 7 6 , 6 7 …

Escolha uma opção:

  1. a n = n n - 1 , se n é par e a n = n + 2 n + 1 , se n é ímpar
  2. a n = n + 1 n , se n é par e a n = n + 2 n + 1 , se n é ímpar
  3. a n = n + 1 n , se n é par e a n = n + 1 n + 2 , se n é ímpar
  4. a n = n + 2 n + 1 , se n é par e a n = n n + 1 , se n é ímpar
  5. a n = n n + 1 , se n é par e a n = n + 2 n + ! , se n é ímpar

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência de números

0 , 3 2 , 2 3 , 5 4   , 4 5 , 7 6 , 6 7 …

E nos perguntou qual é o termo geral

Termo geral é uma expressão algébrica envolvendo n , que a gente chama de lei de recorrência, e que nos dá os elementos da sequência à medida que n vai variando. Lembrando que n são todos os números naturais (números inteiros e positivos) a partir do 1 e ele indica a posição que o número ocupa e a n é o número em si

Uma lei de recorrência ou o termo geral é o que queremos descobrir!

No nosso caso:

n = 0   →   a 0 = 0

n = 1   → a 1 = 3 2

n = 2 →   a 2 = 2 3

n = 3 →   a 3 = 5 4

n = 4 →   a 4 = 4 5

n = 5   → a 5 = 7 6

n = 6   → a 6 = 6 7

E assim por diante, beleza?

Então a ideia é ir desmembrando esses termos até a gente ver qual lei de formação/termo geral se encaixa melhor

Desmembrar para nós aqui é: separar os números que ocupam as posições pares e ver se eles têm alguma relação, fazer igual com os que ocupam os lugares ímpares, verificar se entre eles há alguma relação

Passo 2

Vamos começar pegando elementos que ocupam os lugares pares:

n = 0 →   a 0 = 0

n = 2   → a 2 = 2 3

n = 4   → a 4 = 4 5

n = 6   → a 6 = 6 7

Notem que os numeradores são números das próprias posições, ou seja, n ésimo lugar que ele ocupa.

E os denominadores? Esses achamos somando +1 na posição em que ele se encontra. Assim o a 0 :

a 0 = 0 1 + 0 = 0

E o a 2 que ocupa a segunda posição:

a 2 = 2 2 + 1 = 2 3

E para confirmar nossa lei de formação: o a 4

a 4 = 4 4 + 1 = 4 5

E para o a 6 :

a 6 = 6 6 + 1 = 6 7

É isso aí! Encontramos todos os números que ocupam os lugares ímpares dessa sequência!

a n = n n + 1 ,       s e   n   f o r   p a r

Vamos agora encontrar o termo geral para os termos que ocupam as posições ímpares?

Passo 3

Os números que ocupam os lugares ímpares são

n = 1   a 1 = 3 2

n = 3   a 3 = 5 4

n = 5   a 5 = 7 6

Notem que o denominador é sempre uma unidade a mais que a posição que esse número ocupa. O a 1 tem denominador 2 , o a 3 tem denominador 4 , o a 5 tem denominador 6 , sempre fazendo n + 1 embaixo.

E o numerador? O numerador é sempre duas unidades a mais que a posição, saca só:

n = 1     a 1 = 3 2 = 1 + 2 1 + 1

n = 3     a 3 = 5 4 = 3 + 2 3 + 1

n = 5     a 5 = 7 6 = 5 + 2 5 + 1

E com isso a gente pode dizer que o termo geral dos números pares é:

a n = n + 2 n + 1 ,   s e   n   í m p a r

Sendo assim, a resposta correta é:

a n = n n + 1 ,       s e   n   f o r   p a r e a n = n + 2 n + 1 ,   s e   n   í m p a r

E a alternativa que nos diz isso é a (e).

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( e )

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Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n