Seja a sequência dada por:
- Sabendo que, para todo , , mostre que converge.
- Calcule
Passo 1
a1)
A gente tem que olhar as características dessa função para provar que ela é convergente, temos um valor inicial, que é o .
Agora vamos ver se ela é convergente ou não, repara que essa sequência é limitada, se ela for decrescente ela converge, se ela for crescente ela diverge.
Vamos ver isso:
Vamos analisar:
Queremos ver se esse cara é menor que :
Ele disse no enunciado que:
Isso diz que o numerador é negativo e o denominador é positivo, assim nas condições que ele deu vamos ter:
Assim, a sequência é decrescente. E Consequentemente ela é convergente.
Passo 2
a2)
Pela teoria, como ela é convergente:
Fazendo o limite da relação temos:
Assim temos:
E temos:
Assim:
Resposta
Converge para