Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

" S e   a n   é   u m a   s e q u ê n c i a   m o n ó t o n a ,   e n t ã o   a n   é   c o n v e r g e n t e . "

a Decida se a proposição é verdadeira ou falsa.

b Enuncie a recíproca e decida se a mesma é verdadeira ou falsa.

Passo 1

a Vamos lá, a sequência monótona é aquela que é não-decrescente ou não-crescente. Ela pode ser até um número só que independa de n , o que nesse caso convergiria, mas ela pode ser de vários outros jeitos que não convirjam. Exemplo, se ela for estritamente crescente ela pode não convergir:

a n = n

Nessa situação, teríamos lim n → ∞ ⁡ a n = ∞ , mesmo a sequência mantendo um único regime de crescimento, ou seja, sendo monótona. Falsa!

Passo 2

b A recíproca:

" S e   a n   é   c o n v e r g e n t e ,   e n ã o   a n   é   u m a   s e q u ê n c i a   m o n ó t o n a . "

Bom, não necessariamente. Exemplo, uma função de n exponencial, com base negativa entre 0 e 1 e expoente crescendo à medida que cresce n :

a n = - 1 2 n

Ela não será monótona, uma vez que muda inúmeras vezes seu regime de crescimento. Já que, dependendo do n ser par ou ímpar, o a n será positivo ou negativo. Proposição falsa também.

Resposta

a   P r o p o s i ç ã o   f a l s a .

b   P r o p o s i ç ã o   f a l s a .

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n