Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Seja a n n = 1 ∞ a sequência dada por:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

a 1 = 3

  1. Sabendo que, para todo n ≥ 1 , a n > 3 , mostre que a n n = 1 ∞ converge.
  2. Calcule

lim n → ∞ ⁡ a n

Passo 1

a1)

A gente tem que olhar as características dessa função para provar que ela é convergente, temos um valor inicial, que é o 3 .

Agora vamos ver se ela é convergente ou não, repara que essa sequência é limitada, se ela for decrescente ela converge, se ela for crescente ela diverge.

Vamos ver isso:

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

Vamos analisar

a n + 1 a n = 3 1 + a n 3 + a n a n = 3 1 + a n 3 + a n a n

Queremos ver se esse cara é menor que 1

a n + 1 a n = 3 1 + a n 3 + a n a n < 1

3 1 + a n 3 + a n a n - 1 ≤ 0

3 1 + a n - 3 + a n a n 3 + a n a n ≤ 0

3 + 3 a n - 3 a n - a n 2 3 + a n a n ≤ 0

3 - a n 2 3 + a n a n ≤ 0

Ele disse no enunciado que

a n > 3

Isso diz que o numerador é negativo e o denominador é positivo, assim nas condições que ele deu vamos ter

a n + 1 a n < 1

Assim, a sequência é decrescente. E Consequentemente ela é convergente.

Passo 2

a2)

Pela teoria, como ela é convergente:

lim n → ∞ ⁡ a n = L

Fazendo o limite da relação temos

a n + 1 = 3 1 + a n 3 + a n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 3 1 + a n 3 + a n

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = 3 1 + lim n → ∞ ⁡ a n 3 + lim n → ∞ ⁡ a n

Assim temos

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 = L

E temos

L = 3 1 + L 3 + L

L 3 + L = 3 + 3 L

3 L + L 2 = 3 + 3 L

L 2 = 3

Assim

L = 3

Resposta

Converge para

L = 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? a n = - 2 n + 1
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 2 + - 1 n n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico. A sequência é limitada? a n = 3 - 2 n e - n
Determine se a sequência está aumentando, diminuindo ou não monotônico.A sequência é limitada? a n = cos ⁡ n