UFSCAR – Séries e Equações Diferenciais – Simulado 8 – Questão 47
Determine a expressão do termo geral da sequência dada por
Escolha uma opção:
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
Uma sequência numérica, como o próprio nome diz é uma sequência de ... números! Ok, mas será que serve qualquer número?
Não! Os números estão organizados por meio de alguma “lei”, e essa lei muda de exercício para exercício...
Cada sequência numérica tem sua lei de formação, então cabe a nós descobrir qual é essa lei. A gente precisa ir analisando os números e vendo se tem alguma relação entre eles.
Vou te dar um exemplo:
A sequência dos números pares
A gente pode associar cada número a uma posição. O número é o primeiro número, chamamos ele de , o é o segundo , e assim por diante... O número vai ser o número que vai ocupar a posição;
Então a gente pode escrever esses números em termos das posições assim:
Aí a “lei de formação” dessa sequência é:
E daí pra saber o próximo número, a gente vê qual posição ele vai ocupar e coloca ali no lugar do .
Viu? Esse é um exemplo de como a gente pode achar a lei, ou como chamamos, o termo geral dessa sequência
Precisamos identificar os primeiros termos, depois ver se tem alguma ligação entre eles, seja somando algum fator, multiplicando por um fator, sendo potência...
E é isso que vamos fazer aqui! Com a sequência dada, vamos escrever os números e suas posições e assim ver se encontramos alguma recorrência entre os termos
Ah, e aqui é interessante que você lembre da definição de fatorial de um número
#ALERTATRUQUESUJO
Seja um número natural , o fatorial desse número é:
Por exemplo, se :
E também lembrar dessas definições aqui
Beleza?
Passo 2
Vamos olhar para nossa sequência:
Os primeiros termos são:
O problema pede o termo geral, que seria uma função que forneceria o n-ésimo termo
Dá uma olhada nos termos com mais carinho
O primeiro termo ocupa a posição tem tanto numerador quanto denominador , então daqui a gente não consegue tirar muita coisa
O segundo termo ocupa a posição de e é
O terceiro termo tem e é
Opa... parece que o numerador tem a ver com a posição, não é? Vamos ver se isso se repete para os outros termos
O quarto termo tem e é e o quinto tem e é
Então realmente, o numerador pode ser representado por mesmo
Passo 3
E quanto ao denominador?
Lembra que falei antes sobre a definição de fatorial?
Então, vamos calcular o fatorial de alguns números para ver se encontramos alguma relação, pois algo me diz que sim (isso porque na posição 5, o denominador tem um e vimos lá no passo 1 que É 120, mas precisamos confirmar para todos os outros termos)
Fatorial de 1
E o primeiro termo é .
Fatorial de 2
E o segundo termo é . Lembra que estamos vendo a recorrência do denominador
Agora o fatorial de 3
E o terceiro termo é
Olha só, estamos evoluindo, até agora todos os denominadores bateram com o fatorial da posição!
Mas para confirmar vamos verificar até o quinto
O quarto termo
E o fatorial de é:
Por fim o quinto termo
E já sabemos que .
Então é isso mesmo! O denominador vai com o fatorial da posição, enquanto que o numerador vai com a posição mesmo
Assim podemos encontrar o termo geral
Vamos olhar as respostas e ver qual delas se encaixa
Poxa vida, nenhuma! Mas calma! Nem tudo está perdido! Quando acontece isso tenta manipular o termo geral para simplificar ele ao máximo, vai que rola!
É isso que vou fazer!
Passo 4
O termo geral que encontramos é
Mas como falei lá no passo 1, o fatorial de um número é a multiplicação dele pelos seus antecessores, até chegar no 1.
Mas não precisamos abrir até o final, até porque não sabemos qual é o número , então essa multiplicação ficaria infinita. Quando for assim, abrimos até onde for conveniente (para uma simplificação por exemplo) e colocamos novamente o sinal de fatorial no fim.
Então se abrirmos o fatorial do denominador só até seu antecessor vamos poder cancelar com aquele ali em cima.
Agora jogando isso na expressão do termo geral
Dá uma olhadinha de novo nas alternativas
A que melhor se encaixa é a letra (e)!
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!