Exercícios Resolvidos de Teorema da Sequência Monótona

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Enunciado

Determine a expressão do termo geral da sequência dada por

1 , 2 2 , 3 6 , 4 24 , 5 120 , 6 720 ,   …

Escolha uma opção:

  1. a n = 1 n + 1 !
  2. a n = 1 n !
  3. a n = n + 1
  4. a n = n !
  5. a n = 1 n - 1 !

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

Uma sequência numérica, como o próprio nome diz é uma sequência de ... números! Ok, mas será que serve qualquer número?

Não! Os números estão organizados por meio de alguma “lei”, e essa lei muda de exercício para exercício...

Cada sequência numérica tem sua lei de formação, então cabe a nós descobrir qual é essa lei. A gente precisa ir analisando os números e vendo se tem alguma relação entre eles.

Vou te dar um exemplo:

A sequência dos números pares

2,4 , 6,8 , 10 , …

A gente pode associar cada número a uma posição. O número 2 é o primeiro número, chamamos ele de a 1 , o 4 é o segundo a 2 , e assim por diante... O número a n vai ser o número que vai ocupar a n - é s i m a posição;

Então a gente pode escrever esses números em termos das posições n assim:

a 1 = 1.2 = 2

a 2 = 2.2 = 4

a 3 = 3.2 = 6

Aí a “lei de formação” dessa sequência é:

a n = 2 n

E daí pra saber o próximo número, a gente vê qual posição ele vai ocupar e coloca ali no lugar do n .

Viu? Esse é um exemplo de como a gente pode achar a lei, ou como chamamos, o termo geral dessa sequência

Precisamos identificar os primeiros termos, depois ver se tem alguma ligação entre eles, seja somando algum fator, multiplicando por um fator, sendo potência...

E é isso que vamos fazer aqui! Com a sequência dada, vamos escrever os números e suas posições e assim ver se encontramos alguma recorrência entre os termos

Ah, e aqui é interessante que você lembre da definição de fatorial de um número

#ALERTATRUQUESUJO

Seja um número natural n , o fatorial desse número é:

n ! = n .   n - 1 . n - 2 .   … 1

Por exemplo, se n = 5 :

5 ! = 5.4 . 3.2 . 1 = 120

E também lembrar dessas definições aqui

1 ! = 0 ! = 1

Beleza?

Passo 2

Vamos olhar para nossa sequência:

1 , 2 2 , 3 6 , 4 24 , 5 120 , 6 720 ,   …

Os primeiros termos são:

n = 1 :   a 1 = 1

n = 2 :   a 2 = 2 2

n = 3 :   a 3 = 3 6

n = 4 :   a 4 = 4 24

n = 5 :   a 5 = 5 120

O problema pede o termo geral, que seria uma função que forneceria o n-ésimo termo

Dá uma olhada nos termos com mais carinho

O primeiro termo ocupa a posição n = 1 tem tanto numerador quanto denominador 1 , então daqui a gente não consegue tirar muita coisa

O segundo termo ocupa a posição de n = 2 e é

2 2

O terceiro termo tem n = 3 e é

3 6

Opa... parece que o numerador tem a ver com a posição, não é? Vamos ver se isso se repete para os outros termos

O quarto termo tem n = 4 e é 4 24 e o quinto tem n = 5 e é 5 120

Então realmente, o numerador pode ser representado por n mesmo

Passo 3

E quanto ao denominador?

Lembra que falei antes sobre a definição de fatorial?

Então, vamos calcular o fatorial de alguns números para ver se encontramos alguma relação, pois algo me diz que sim (isso porque na posição 5, o denominador tem um 120 e vimos lá no passo 1 que 5 ! É 120, mas precisamos confirmar para todos os outros termos)

Fatorial de 1

1 ! = 1

E o primeiro termo é 1 .

Fatorial de 2

2 ! = 2.1 = 2

E o segundo termo é 2 2 . Lembra que estamos vendo a recorrência do denominador

Agora o fatorial de 3

3 ! = 3.2 . 1 = 6

E o terceiro termo é

3 6

Olha só, estamos evoluindo, até agora todos os denominadores bateram com o fatorial da posição!

Mas para confirmar vamos verificar até o quinto

O quarto termo

4 24

E o fatorial de 4 é:

4 ! = 4.3 . 2.1 = 24

Por fim o quinto termo

5 120

E já sabemos que 5 ! = 120 .

Então é isso mesmo! O denominador vai com o fatorial da posição, enquanto que o numerador vai com a posição mesmo

Assim podemos encontrar o termo geral

a n = n n !

Vamos olhar as respostas e ver qual delas se encaixa

  1. a n = 1 n + 1 !
  2. a n = 1 n !
  3. a n = n + 1
  4. a n = n !
  5. a n = 1 n - 1 !

Poxa vida, nenhuma! Mas calma! Nem tudo está perdido! Quando acontece isso tenta manipular o termo geral para simplificar ele ao máximo, vai que rola!

É isso que vou fazer!

Passo 4

O termo geral que encontramos é

a n = n n !

Mas como falei lá no passo 1, o fatorial de um número n é a multiplicação dele pelos seus antecessores, até chegar no 1.

n ! = n . n - 1 . n - 2 . n - 3 … . 1

Mas não precisamos abrir até o final, até porque não sabemos qual é o número n , então essa multiplicação ficaria infinita. Quando for assim, abrimos até onde for conveniente (para uma simplificação por exemplo) e colocamos novamente o sinal de fatorial ( ! ) no fim.

Então se abrirmos o fatorial do denominador só até seu antecessor ( n - 1 ) vamos poder cancelar com aquele n ali em cima.

n ! = n .   n - 1 !

Agora jogando isso na expressão do termo geral

a n = n n . n - 1 ! = 1 n - 1 !

Dá uma olhadinha de novo nas alternativas

  1. a n = 1 n + 1 !
  2. a n = 1 n !
  3. a n = n + 1
  4. a n = n !
  5. a n = 1 n - 1 !

A que melhor se encaixa é a letra (e)!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( e )

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