Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Origem do Exercício

Calcule a velocidade da curva , indicando a única resposta correta. Considere a resposta em .

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Passo 1

“Velocidade da curva” pode parecer um termo estranho de início, mas tente pensar assim: se o é a posição de uma partícula qualquer em função do tempo, então como a gente pode associar uma velocidade a isso?

Exatamente, temos que derivar a posição em relação ao tempo!

Passo 2

Beleza, vamos derivar a função que o enunciado deu. Lembre-se sempre de que para derivar um vetor, a gente deriva cada uma das componentes, então:

Ok, nem precisamos usar regra da cadeia ou coisa do tipo, todas as derivadas são bastante tranquilas:

Passo 3

E o enunciado pediu para consideramos a resposta em , então vamos substituir na fórmula que acabamos de achar:

Bom, você deve lembrar que:

E que o seno e o cosseno desse ângulo são iguais a :

Pronto, essa é a resposta!

Resposta

Letra (c). .

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(Regra da Cadeia). Sejam t → u t ,t ∈ I , u → F → u ∈ R n ,u ∈ J , funções deriváveis, onde I e J são intervalos em R . Suponha que, para todo t ∈ I , u t ∈ J . Prove que a função H → dada por H → t =

Calcule (d vec F)/(d t) e (d^2 vec F)/(d t^2) .vec F (t) = (3 t^2 , e^(- t) , ln ( t^2 + 1 ))

Suponha que μ p θ =c o s θ i - +s e n θj - , u θ θ =- s e n θi - + c o s θj - , r t = p t u p ( θ ( t ) ) , com θ = θ ( t ) e p = p ( t ) deriváveis até a segunda ordem no intervalo I . N o t a ç ã o

Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:d) f → t = e - t i → + e - 2 t j → + k →

Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:e) g → t = ln ⁡ t i → + tj → + tk →