Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Um objeto se desloca segundo o vetor posição

r t = 2,4 sen ⁡ t 2 ,   3 - t π ,   t ≥ 0

Se t 1 é o primeiro instante em que r ( t ) é ortogonal ao vetor u = ( 1 , - 1,0 ) , a velocidade escalar do objeto em t = t 1 é:

  1. 0
  2. 3 + 1 π 2
  3. 3 - 1 π 2
  4. 24
  5. 13

Passo 1

Se em t 1 temos o primeiro instante em que r ( t ) é perpendicular a ( 1 , - 1,0 ) , então, o vetor r ( t 1 ) é perpendicular ao vetor u .

E quando dois vetores são perpendiculares, já sabemos que o produto escalar entre eles tem que ser nulo:

r t 1 ∙ u = 0

Vamos começar encontrando o vetor r ( t 1 ) :

r t 1 = 2,4 sen ⁡ t 1 2 ,   3 - t 1 π

Passo 2

Agora vamos fazer esse produto escalar:

r t 1 ∙ u = 0

2,4 sen ⁡ t 1 2 ,   3 - t 1 π ∙ 1 , - 1,0 = 0

2.1 + 4 sen ⁡ t 1 2 . - 1 + 3 - t 1 π . 0 = 0

2 - 4 sen ⁡ t 1 2 + 0 = 0

4 sen ⁡ t 1 2 = 2

sen ⁡ t 1 2 = 1 2

t 1 2 = arcsen ⁡ 1 2

Assim,

t 1 2 = π 6

Logo

t 1 = π 3

Passo 3

Agora que já encontramos o instante t 1 , falta só calcular a velocidade escalar do objeto nesse instante.

Pra isso, é só a gente calcular o vetor velocidade, que é a derivada do vetor posição, e depois calcular o módulo disso, e tudo isso no instante t = t 1 = π 3 .

Se

r t = 2,4 sen ⁡ t 2 ,   3 - t π

O vetor velocidade é

r ' t = 0   , 4 . 1 2   cos ⁡ t 2 ,   - 1 π

r ' t = 0   , 2   cos ⁡ t 2 ,   - 1 π

Substituindo no instante t = t 1 = π 3 :

r ' π 3 = 0   , 2   cos ⁡ π 3 2 ,   - 1 π

r ' π 3 = 0   , 2   cos ⁡ π 6 ,   - 1 π

r ' π 3 = 0   , 2 . 3 2 ,   - 1 π

r ' π 3 = 0   , 3 ,   - 1 π

Passo 4

O módulo disso é:

r ' t = 0 2 + 3 2 + - 1 π ²  

r ' t = 0 2 + 3 + 1 π 2

r ' t = 3 + 1 π 2

E essa é a velocidade escalar que estamos procurando

Resposta

L e t r a   b

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