Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Considere a curva parametrizada por

r t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , t 2   ,   t ≥ 0

Em qual ponto da curva o vetor tangente faz um ângulo π 6 com o vetor ( 0,0 , 1 ) ?

  1. 3 , 1 , π 2 3
  2. 2 , 2 , π 2 16
  3. r 3
  4. r 2
  5. 0 , 2 , π 2 4

Passo 1

Primeiro começamos encontrando o vetor tangente . Temos:

r t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , t 2

r ' t = - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t , 2 t , t ≥ 0

Passo 2

Agora podemos usar o produto escalar para achar o que a gente quer, pois

v → ∙ r ' ( t ) = v → r ' ( t ) c o s θ

Se o vetor tangente faz um ângulo π 6 com o vetor v → = ( 0,0 , 1 ) , isso significa que:

v → ∙ r ' ( t ) = v → r ' t cos ⁡ π 6

cos ⁡ π 6 = v → ∙ r ' t v → r ' t

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar do numerador e os módulos do denominador.

Começando pelo numerador:

v → ∙ r ' t = 0,0 , 1 ∙ - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t , 2 t

v → ∙ r ' t = 0 . - 2 sen ⁡ t + 0 . 2 cos ⁡ t + 1.2 t

v → ∙ r ' t = 2 t

Passo 4

Agora o denominador:

v → = ( 0,0 , 1 )

v → = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1

r ' t = - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t , 2 t

r ' t = - 2 sen ⁡ t 2 + 2 cos ⁡ t 2 + ( 2 t ) 2

r ' t = 4 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t + 4 t 2

r ' t = 4 + 4 t 2

r ' t = 4 ( 1 + t 2 )

r ' t = 2 ( 1 + t 2 )

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula do passo 2:

cos ⁡ π 6 = v → ∙ r ' t v → r ' t

cos ⁡ π 6 = 2 t 1 . 2 ( 1 + t 2 )

cos ⁡ π 6 = t ( 1 + t 2 )

3 2 = t ( 1 + t 2 )

3 ( 1 + t 2 ) = 2 t

Elevando os dois lados ao quadrado:

3 1 + t 2 = 4 t 2

4 t 2 - 3 t 2 = 3

t 2 = 3

t = ± 3

Como t ≥ 0 :

t = 3

Passo 6

Assim, o ponto da curva que o vetor tangente faz um ângulo π 6 com o vetor ( 0,0 , 1 ) é o ponto

r 3

Resposta

L e t r a   c

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