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Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = t s e n π t ,   t c o s π t ,   t 2

Onde t ≥ 0 .

a) Mostre que a curva C está contida em uma superfície quádrica. Identifique essa superfície e use esse fato para esboçar a curva C .

b) Encontre a equação simétrica a reta tangente à curva C no ponto P 0 ,   - 1 ,   1 .

Passo 1

a) Isso pode ser muito tranquilo se você conseguir enxergar isso que vou te mostrar agora:

r t = t cos ⁡ π t ,   t   s e n π t ,   t 2 ,   t ≥ 0 .

x = t cos ⁡ π t

y = t   s e n   π t

z = t 2

Observe a relação s e n 2 π t + cos 2 ⁡ π t = 1

Observe ainda que x 2 + y 2 = z → t 2 s e n 2 π t + t 2 cos 2 ⁡ π t = t 2 → t 2 s e n 2 π t + cos 2 ⁡ π t = t 2 → t 2 = t 2

Passo 2

Então sabemos que x 2 + y 2 = z realmente é parametrizado por:

r t = t cos ⁡ π t ,   t   s e n π t ,   t 2 ,   t ≥ 0

Então a curva que procuramos está contida na superfície x 2 + y 2 = z  

Passo 3

b) vamos começar essa b identificando o instante t em que r t = t s e n π t ,   t c o s π t ,   t 2   passa pelo ponto P 0 ,   - 1 ,   1 .

t s e n π t = 0 t c o s π t = - 1 t 2 = 1

O único t que satisfaz essas 3 condições é t = 1 .

A fórmula da equação simétrica para a reta tangente a curva será representada por:

R s = r 1 + s . r ' 1

Vamos então precisar da derivada da nossa curva.

r t = t s e n π t ,   t c o s π t ,   t 2

r ' t = ( s e n π t + π t c o s π t , cos ⁡ π t - π t s e n π t ,   2 t )

r ' 1 = 0 - π ,   - 1 + 0 ,   2 = ( - π ,   - 1 ,   2 )

Calculando então a equação da reta:

R s = r 1 + s . r ' 1

R s = 0 ,   - 1 ,   1 + s - π ,   - 1 ,   2

Resposta

a )   x 2 + y 2 = z

b )   R s = 0 ,   - 1 ,   1 + s - π ,   - 1 ,   2

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