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Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Dois carros se movem sobre pistas circulares concêntricas de raios 1km e 2km, respectivamente. O primeiro com velocidade angular constante de 20   r d / h . O segundo, parte do repouso, e mantem aceleração angular constante de 40   r d / h ² . Suponha que no instante inicial os dois carros estão emparelhados.

  1. Encontre os vetores posição para os dois movimentos
  2. Quanto tempo leva o segundo carro para se emparelhar novamente com o primeiro?
  3. Ache a velocidade do segundo carro neste instante.

Passo 1

a )

Os dois carros se movem ao longo de um circulo de mesmo centro e raios r 1 = 1 k m e r 2 = 2 k m . A parametrização do circunferência a gente já conhece:

x t = x 0 + r cos ⁡ t

y t = y 0 + r sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Lembrando: x 0 e y 0 são as coordenadas do centro das circunferências. Como o problema não deu esse dado, vamos considerá-las centradas na origem. Ou seja:

x 0 = y 0 = 0

Assim, seja σ 1 ( t ) o vetor posição do primeiro carro e σ 2 ( t ) o vetor posição do segundo carro, considerando x 0 = 0 e y 0 = 0 e substituindo os dados do problema, temos:

σ 1 θ 1 = 1 cos ⁡ θ 1 , 1 sen ⁡ θ 1 ,   θ 1 ∈ [ 0,2 π ]

E

σ 2 θ 2 = 2 cos ⁡ θ 2 , 2 sen ⁡ θ 2 ,   θ 2 ∈ [ 0,2 π ]

Eu chamei o t de θ porque esse parâmetro é, na verdade, um ângulo, mas como eu disse na teoria, quando a gente tá falando de vetor velocidade, temos que “transformar” o parâmetro em tempo.

Passo 2

Então a gente tem usar aquelas relações do movimento circular que te falei lá na teoria:

θ = θ 0 + θ ˙ t (movimento circular uniforme)

θ = θ 0 + θ ˙ 0 t + 1 2 θ ¨ t ² (movimento circular uniformentente variado)

O problema diz pra gente que o primeiro carro se move com velocidade angular contante de 20   r d / h , então:

θ 1 = θ ˙ 1 t + θ 0

θ 1 = 20 t + θ 0

E que o segundo, parte do repouso, e mantem aceleração angular constante de 40   r d / h ² , então:

θ 2 = θ 0 + θ ˙ 0 2 t + 1 2 θ ¨ 2 t 2

θ 2 = θ 0 + 0 t + 1 2 40 t 2

θ 2 = θ 0 + 20 t 2

Assim, os vetores posição são:

σ 1 θ 1 = 1 cos ⁡ θ 1 , 1 sen ⁡ θ 1

σ 1 t = 1 cos ⁡ 20 t + θ 0 , 1 sen ⁡ 20 t + θ 0

E

σ 2 θ 2 = 2 cos ⁡ θ 2 , 2 sen ⁡ θ 2

σ 2 t = 2 cos ⁡ θ 0 + 20 t 2 , 2 sen ⁡ θ 0 + 20 t 2

Passo 3

b )

O segundo carro se emparelha com o primeiro novamente quando as posições angulares dos dois carros forem iguais. Assim:

θ 1 = θ 2

20 t + θ 0 =   θ 0 + 20 t 2

20 t 2 - 20 t = 0

t ( 20 t - 20 ) = 0

t = 0

t = 1

O caso t = 0 não nos interessa pois é referente ao instante inicial em que já sabemos que os carros estão emparelhados.

Então, os carros voltam a se emparelhar quando t = 1   h o r a .

Passo 4

c )

Para encontrar o vetor velocidade do segundo carro temos que derivar o vetor posição do segundo carro e substituir em t = 1 :

σ 2 t = 2 cos ⁡ θ 0 + 20 t 2 , 2 sen ⁡ θ 0 + 20 t 2

σ ˙ 2 t = - 2 ( 40 t ) sen ⁡ θ 0 + 20 t 2 , 2 ( 40 t ) cos ⁡ θ 0 + 20 t 2

σ ˙ 2 t = - 80 t sen ⁡ θ 0 + 20 t 2 , 80 t cos ⁡ θ 0 + 20 t 2

Em t = 1 :

σ ˙ 2 t = - 80 ( 1 ) sen ⁡ θ 0 + 20 1 2 , 80 ( 1 ) cos ⁡ θ 0 + 20 ( 1 ) 2

Passo 5

A velocidade escalar do segundo carro é:

σ ˙ 2 = - 80 s e n θ 0 + 20 2 + 80 cos ⁡ θ 0 + 20 2

σ ˙ 2 = 6400 s e n 2 θ 0 + 20 + 6400 c o s 2 θ 0 + 20 = 80 k m / h

Resposta

  1. σ 1 t = 1 cos ⁡ 20 t + θ 0 , 1 sen ⁡ 20 t + θ 0 e

    2. σ 2 t = 2 cos ⁡ θ 0 + 20 t 2 , 2 sen ⁡ θ 0 + 20 t 2

  2. t = 1   h o r a
  3. 80 k m / h

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