Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Seja C a curva obtida pela interseção do plano

z = 2 x

E do paraboloide

z = x 2 + 4 y 2

O vetor tangente a C no ponto 1 , 1 2 , 2 é paralelo ao vetor:

  1. ( 0,2 , 1 )
  2. ( 1,0 , - 1 )
  3. ( 1,0 , 2 )
  4. ( 0,1 , 3 )
  5. ( 1,0 , 5 )

Passo 1

A primeira coisa vai ser parametrizar a curva de interseção das duas superfícies.

Substituindo o z da primeira superfície na segunda:

2 x = x 2 + 4 y 2

x 2 - 2 x + 4 y 4 = 0

Completando quadrados:

x - 1 2 + 2 y 2 = 1

Arrumando melhor:

x - 1 2 + y 1 2 2 = 1

E isso é a equação de uma elipse no plano x y , que é a projeção da curva de interseção.

Passo 2

Parametrizando isso:

x t = 1 + cos ⁡ t

y t = 1 2 sen ⁡ t

t ∈ [ 0,2 π ]

Mas ainda falta a terceira componente da nossa curva de interseção.

Pra isso, basta substituir essa parametrização no z isolado em

z = 2 x

z t = 2 1 + cos ⁡ t = 2 + 2 cos ⁡ t

A curva C é portanto a curva

x t = 1 + cos ⁡ t

y t = 1 2 sen ⁡ t

z t = 2 + 2 cos ⁡ t

Passo 3

Para descobrir um vetor tangente a C no ponto 1 , 1 2 , 2 precisamos saber em que instante isso ocorre.

Pra isso:

x t = 1 + cos ⁡ t = 1

y t = 1 2 sen ⁡ t = 1 2

z t = 2 + 2 cos ⁡ t = 2

Daí, tiramos que

t = π 2

Passo 4

Agora derivando nossa curva C para achar um vetor tangente a ela, temos

x t = 1 + cos ⁡ t   ⇒ x ' t = - sen ⁡ t

y t = 1 2 sen ⁡ t ⇒ y ' t = 1 2 cos ⁡ t

z t = 2 + 2 cos ⁡ t ⇒ z ' t = - 2 sen ⁡ t

No ponto t = π 2 :

x ' π 2 = - sen ⁡ π 2 = - 1

y ' π 2 = 1 2 cos ⁡ π 2 = 0

z ' π 2 = - 2 sen ⁡ π 2 = - 2

Ou seja, o vetor ( - 1,0 , - 2 ) .

E dentre as opções, um vetor paralelo a esse é o vetor ( 1,0 , 2 ) .

Resposta

L e t r a   c

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