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Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

UFES, Cálculo I, P2, 2020.2, questão 3

Duas pessoas começam a andar a partir do mesmo ponto. Uma vai para o leste a 6   k m / h e a outra, para o sul a 12   k m / h . Quão rápido está variando a distância entre as pessoas após 30   m i n u t o s ?

Passo 1

Faaaala, galeraaaa! Tudo beleza?

O objetivo dessa questão é obter a distância em um dado momento entre dois pontos que neste caso, são duas pessoas caminhando para diferentes direções.

Para resolver essa questão vamos adotar que o leste está no sentido positivo de y e que o sul está no sentido positivo de x . Como mostra a figura abaixo.

Vamos organizar os dados para conseguir calcular o que se pede no enunciado.

Sabemos que o ponto A é composto por:

x A = 6 t

y A = 0

E que o ponto B é composto por:

x B = 12 cos ⁡ ( 90 ) t = 0

y B = 12 sin ⁡ 90 t = 12 t

A justificativa para o ângulo de 90   ° pode ser vista na figura abaixo. Note que o ângulo formado entre leste e sul é 90   ° .

Passo 2

Agora o que precisamos é somente substituir os dados que obtivemos na fórmula da distância. Assim, temos

d A B = ( x B - x A ) 2 + ( y B - y A ) 2

d A B = ( 0 - 6 t ) 2 + ( 12 t - 0 ) 2

d A B = t 2 ( 0 - 6 ) 2 + t 2 ( 12 - 0 ) 2

d A B = t 2 ( - 6 ) 2 + t 2 ( 12 ) 2

d A B = t 2 ( 36 ) + t 2 ( 144 )

Resolvendo a raíz quadrada de t  

d A B = t ( 36 + 144 )

d A B = t ( 180 )

d A B = 13,41 t

Passo 3

O último passo dessa questão é substituir o tempo de 30 minutos na expressão obtida no Passo 2.

d A B = 13,41 t

30   m i n u t o s = 0,5   h o r a s

Substituindo

d A B = 13,41 0,5 = 6,7   k m / h

Prontinho, até mais!

Resposta

d A B = 6,7   k m / h

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