Dois objetos se deslocam segundo os seguintes vetores posição:
Lembre que a velocidade escalar de um objeto com o vetor posição é .
Considere as alternativas:
- Os objetos se chocam em um ponto.
- As trajetórias dos objetos se cruzam em dois pontos.
- No ponto o ângulo entre as trajetórias é tal que
- O segundo objeto cruza o eixo no instante com velocidade escalar igual a 2.
- Quando , a velocidade escalar do primeiro objeto tende a 1.
- Apenas a afirmativa I é falsa
- Apenas as afirmativas I e II são falsas
- Apenas as afirmativas I e III são falsas
- Apenas as afirmativas III e V são verdadeiras
- Todas as afirmativas são falsas
Passo 1
Como as alternativas falam sobre os objetos se chocarem e as trajetórias se cruzarem, vamos começar verificando essas hipóteses.
Para que duas trajetórias se cruzem, é preciso que haja pelo menos um ponto em comum entre elas, não necessariamente no mesmo instante. Vamos ver:
Igualando as coordenadas, ficamos com o sistema:
Substituindo a primeira na segunda:
Assim,
Porque o enunciado diz pra gente que tem que ser maior que zero, beleza?
Portanto, no instante para a primeira trajetória e nos instantes correspondentes para a segunda trajetória, as partículas se cruzam. Para obter os pontos de cruzamento, basta calcular OU , porque eles correspondem ao mesmo ponto, concorda?
Vamos calcular
Repara que embora a gente tenha achado 2 instantes de tempo, a gente só tem um ponto onde as trajetórias se cruzam.
Passo 2
Agora vamos testar o choque das partículas.
Para se chocarem, é preciso que elas passem pelo mesmo ponto, no mesmo instante. Assim
Igualando as coordenadas, ficamos com o sistema:
A segunda equação pode até ser possível, mas a primeira equação não faz muito sentido né?
Como não existe um valor de que atenda as duas equações do sistema, podemos dizer que as partículas não colidem.
Passo 3
Bom, agora que testamos as possibilidades de cruzar os colidir, vamos ver o negócio do ângulo entre os vetores.
Para isso, vamos usar aquela fórmula do produto escalar com cosseno:
Calculando as velocidades:
Fazendo o produto escalar:
Agora calculando os módulos dos vetores:
Beleza, a gente tá cheio de raiz aí que se formos substituir na fórmula do produto escalar com cosseno vai dar uma doidera só...
Então vamos tentar descobrir os valores de e correspondentes ao ponto pra poder substituir nesses resultados que encontramos aqui no passo 3 e calcular o produto escalar com isso e aí sim vemos se isso bate com .
Tá bem?
Passo 4
Vamos lá então
Igualando a :
Daí tiramos que
Passo 5
Agora igualando a :
Daí tiramos que
Passo 6
Beleza, agora vamos substituir isso no que achamos lá no passo 3.
Passo 7
Agora finalmente podemos testar nessa fórmula aqui
E vemos se chegamos a .
Vamos lá
UHUL, deu certo!
Então quer dizer que o ângulo entre os vetores velocidades realmente dá o que tá dizendo na questão. E se o ângulo entre os vetores velocidades é tal que , então o ângulo entre as trajetórias também é.
Afirmativa III é verdadeira.
Passo 8
Agora vamos testar se o segundo objeto cruza o eixo com velocidade escalar no instante .
Pra cruzar o eixo , a componente tem que ser nula:
A velocidade escalar dele nós já calculamos no passo 3:
No instante :
Afirmativa falsa então.
Passo 9
Finalmente, pra fechar essa questão gigante, vamos ver se a velocidade escalar no primeiro objeto tende a quando
Do passo 3:
Se então , assim
Afirmativa verdadeira também!