Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Dois objetos se deslocam segundo os seguintes vetores posição:

r 1 t = t , t   ,   t ≥ 0

r 2 t = t , 1 - t 2 ,   t ≥ 0

Lembre que a velocidade escalar de um objeto com o vetor posição r ( t ) é r ' t .

Considere as alternativas:

  1. Os objetos se chocam em um ponto.
  2. As trajetórias dos objetos se cruzam em dois pontos.
  3. No ponto 2 2 , 1 2 o ângulo θ entre as trajetórias é tal que cos ⁡ θ = - 1 3
  4. O segundo objeto cruza o eixo x no instante t = 1 com velocidade escalar igual a 2.
  5. Quando t → ∞ , a velocidade escalar do primeiro objeto tende a 1.
  1. Apenas a afirmativa I é falsa
  2. Apenas as afirmativas I e II são falsas
  3. Apenas as afirmativas I e III são falsas
  4. Apenas as afirmativas III e V são verdadeiras
  5. Todas as afirmativas são falsas

Passo 1

Como as alternativas falam sobre os objetos se chocarem e as trajetórias se cruzarem, vamos começar verificando essas hipóteses.

Para que duas trajetórias se cruzem, é preciso que haja pelo menos um ponto em comum entre elas, não necessariamente no mesmo instante. Vamos ver:

r 1 t 1 = r 2 t 2

t 1 , t 1 = t 2 , 1 - t 2 2

Igualando as coordenadas, ficamos com o sistema:

t 1 = t 2 t 1 = 1 - t 2 2

Substituindo a primeira na segunda:

t 1 = 1 - t 1 2  

t 1 = 1 - t 1

2 t 1 = 1

t 1 = 1 2

Assim,

t 2 = 1 2 = + 1 2

Porque o enunciado diz pra gente que t tem que ser maior que zero, beleza?

Portanto, no instante t 1 = 1 2 para a primeira trajetória e nos instantes correspondentes t 2 = 1 2 para a segunda trajetória, as partículas se cruzam. Para obter os pontos de cruzamento, basta calcular r 1 ( t 1 ) OU r 2 ( t 2 ) , porque eles correspondem ao mesmo ponto, concorda?

Vamos calcular r 2 t 2 :

r 2 1 2 = 1 2 , 1 - 1 2 2 = 1 2 , 1 2

Repara que embora a gente tenha achado 2 instantes de tempo, a gente só tem um ponto onde as trajetórias se cruzam.

Passo 2

Agora vamos testar o choque das partículas.

Para se chocarem, é preciso que elas passem pelo mesmo ponto, no mesmo instante. Assim

r 1 t = r 2 t

t , t = t , 1 - t 2

Igualando as coordenadas, ficamos com o sistema:

t = t t = 1 - t 2

A segunda equação pode até ser possível, mas a primeira equação não faz muito sentido né?

Como não existe um valor de t que atenda as duas equações do sistema, podemos dizer que as partículas não colidem.

Passo 3

Bom, agora que testamos as possibilidades de cruzar os colidir, vamos ver o negócio do ângulo entre os vetores.

Para isso, vamos usar aquela fórmula do produto escalar com cosseno:

c o s θ = r ' 1 ( t ) ∙ r ' 2 t r ' 1 t r ' 2 t

Calculando as velocidades:

r 1 t = t , t  

r 1 ' t = 1 2 t , 1

r 2 t = t , 1 - t 2

r 2 ' t = ( 1 , - 2 t )

Fazendo o produto escalar:

r 1 ' t ∙ r 2 ' t = 1 2 t , 1 ∙ 1 , - 2 t

r 1 ' t ∙ r 2 ' t = 1 2 t 1 - 2 t 2

Agora calculando os módulos dos vetores:

r 1 ' t = 1 2 t 2 + 1 2 = 1 4 t + 1

r 2 ' t = 1 2 + ( - 2 t ) 2   = 1 + 4 t 2

Beleza, a gente tá cheio de raiz aí que se formos substituir na fórmula do produto escalar com cosseno vai dar uma doidera só...

Então vamos tentar descobrir os valores de t 1 e t 2 correspondentes ao ponto 2 2 , 1 2 pra poder substituir nesses resultados que encontramos aqui no passo 3 e calcular o produto escalar com isso e aí sim vemos se isso bate com cos ⁡ θ = - 1 3 .

Tá bem?

Passo 4

Vamos lá então

Igualando P a r 1 :

r 1 t = P

t , t = 2 2 , 1 2

t = 2 2

t = 1 2

Daí tiramos que

t 1 = 1 2

Passo 5

Agora igualando P a r 2 :

r 2 t = P

t , 1 - t 2 = 2 2 , 1 2

t = 2 2

1 - t 2 = 1 2

Daí tiramos que

t 2 = 2 2

Passo 6

Beleza, agora vamos substituir isso no que achamos lá no passo 3.

r 1 ' t ∙ r 2 ' t = 1 2 t 1 - 2 t 2

r 1 ' t ∙ r 2 ' t = 1 2 1 2 - 2 2 2 = 2 2 - 2 = - 2 2

r 1 ' t = 1 4 t 1 + 1 = 1 4 ∙ 1 2 + 1 = 3 2

r 2 ' t = 1 + 4 t 2 2 = 1 + 4 2 2 2 = 3

Passo 7

Agora finalmente podemos testar nessa fórmula aqui

c o s θ = r ' 1 ( t ) ∙ r ' 2 t r ' 1 t r ' 2 t

E vemos se chegamos a cos ⁡ θ = - 1 3 .

Vamos lá

c o s θ = - 2 2 3 2 ∙ 3 = - 2 2 3 2 = - 2 2 ∙ 2 3 = - 2 2.3 = - 1 3

UHUL, deu certo!

Então quer dizer que o ângulo entre os vetores velocidades realmente dá o que tá dizendo na questão. E se o ângulo entre os vetores velocidades é tal que c o s θ = - 1 3 , então o ângulo entre as trajetórias também é.

Afirmativa III é verdadeira.

Passo 8

Agora vamos testar se o segundo objeto cruza o eixo x com velocidade escalar 2 no instante t = 1 .

r 2 t = t , 1 - t 2

Pra cruzar o eixo x , a componente y tem que ser nula:

1 - t 2 = 0

t = ± 1

A velocidade escalar dele nós já calculamos no passo 3:

r 2 ' t = 1 + 4 t 2

No instante t = 1 :

r 2 ' t = 1 + 4 . 1 2 = 1 + 4 = 5

Afirmativa falsa então.

Passo 9

Finalmente, pra fechar essa questão gigante, vamos ver se a velocidade escalar no primeiro objeto tende a 1 quando t → ∞

Do passo 3:

r 1 ' t = 1 4 t + 1

Se t → ∞ então 1 4 t → 0 , assim 1 4 t + 1 → 0 + 1 = 1

Afirmativa verdadeira também!

Resposta

L e t r a   d

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