Seja r(t) = e^t * i + (2 / 9) * e^(2t) * j a posição de uma partícula no plano xy no instante t . Encontre o vetor velocidade e aceleração da partícula no instante t .

Passo 1

Quanto temos a posição de uma partícula, podemos simplesmente derivar essa função para obter a velocidade, então:

v t = d d t r ( t )

Se derivarmos mais uma vez, vamos encontrar a acelerçãoa:

a t = d d t v t = d 2 d t 2 r ( t )

Obs.: Todas essas funções são vetoriais, então seria mais correto escrever a ( t ) → , v ( t ) → e r ( t ) → , mas vamos tirar isso por simplicidade.

Passo 2

Começamos derivando r ( t ) pela primeira vez. Precisamos derivar cada uma das componentes:

d d t r t = d d t e t , d d t 2 9 e 2 t

d d t r t = ( e t , 4 9 e 2 t )

E então o vetor velocidade é:

v t = ( e t , 4 9 e 2 t )

Passo 3

E agora vamos derivar pela segunda vez para encontrar a aceleração:

d 2 d t 2 r t = d d t v t = d d t e t , d d t 4 9 e 2 t

d 2 d t 2 r t = ( e t , 8 9 e 2 t )

E então o vetor aceleração é:

a t = ( e t , 8 9 e 2 t )

Resposta

O vetor velocidade é v t = e t i + 4 9 e 2 t j e o vetor aceleração é a t = e t i + 8 9 e 2 t .

Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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