Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

Ver Teoria

Enunciado

Seja r t = e t i + 2 9 e 2 t j a posição de uma partícula no plano x y no instante t . Encontre o vetor velocidade e aceleração da partícula no instante t .

Passo 1

Quanto temos a posição de uma partícula, podemos simplesmente derivar essa função para obter a velocidade, então:

v t = d d t r ( t )

Se derivarmos mais uma vez, vamos encontrar a acelerçãoa:

a t = d d t v t = d 2 d t 2 r ( t )

Obs.: Todas essas funções são vetoriais, então seria mais correto escrever a ( t ) → , v ( t ) → e r ( t ) → , mas vamos tirar isso por simplicidade.

Passo 2

Começamos derivando r ( t ) pela primeira vez. Precisamos derivar cada uma das componentes:

d d t r t = d d t e t , d d t 2 9 e 2 t

d d t r t = ( e t , 4 9 e 2 t )

E então o vetor velocidade é:

v t = ( e t , 4 9 e 2 t )

Passo 3

E agora vamos derivar pela segunda vez para encontrar a aceleração:

d 2 d t 2 r t = d d t v t = d d t e t , d d t 4 9 e 2 t

d 2 d t 2 r t = ( e t , 8 9 e 2 t )

E então o vetor aceleração é:

a t = ( e t , 8 9 e 2 t )

Resposta

O vetor velocidade é v t = e t i + 4 9 e 2 t j e o vetor aceleração é a t = e t i + 8 9 e 2 t .

Exercícios de Livros Relacionados

(Regra da Cadeia). Sejam t → u t ,t ∈ I , u → F → u ∈ R n ,u ∈ J , funções deriváveis, onde I e J são intervalos em R . Suponha que, para todo t ∈ I , u t ∈ J . Prove que a função H → dada por H → t =
Calcule (d vec F)/(d t) e (d^2 vec F)/(d t^2) .vec F (t) = (3 t^2 , e^(- t) , ln ( t^2 + 1 ))
Suponha que μ p θ =c o s θ i - +s e n θj - , u θ θ =- s e n θi - + c o s θj - , r t = p t u p ( θ ( t ) ) , com θ = θ ( t ) e p = p ( t ) deriváveis até a segunda ordem no intervalo I . N o t a ç ã o
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:d) f → t = e - t i → + e - 2 t j → + k →
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:e) g → t = ln ⁡ t i → + tj → + tk →