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Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Uma partícula se desloca no plano x y em movimento circular de raio r = 1 tal que sua velocidade angular satisfaz a seguinte condição

d θ d t = θ

θ 0 = 1

Se o vetor posição desse objeto é r ( t ) então sua velocidade escalar v = | r ' t | no instante t = 2 π é:

  1. v = e 2 π
  2. v = e - 2 π
  3. v = e π
  4. v = e - π
  5. v = 1

Passo 1

Como a questão diz que o objeto se desloca numa circunferência de raio 1 significa que o vetor posição dele é nada mais nada menos que a parametrização de uma circunferência de raio 1 , certo?

Então temos isso aqui:

r θ = ( cos ⁡ θ , sen ⁡ θ )

Mas como queremos achar a velocidade escalar, precisamos colocar esse vetor posição em função do parâmetro TEMPO t . Para isso, vamos precisar relacionar o parâmetro ângulo θ com o parâmetro tempo t .

Daí precisamos saber se é movimento circular uniforme ou circular uniformemente variado.

Passo 2

Mas aí a questão diz que o movimento satisfaz

d θ d t = θ

θ 0 = 1

Ou seja, precisamos resolver essa EDO separável aí..

Ficamos com

d θ θ = d t

Integrando os dois lados:

∫ d θ θ = ∫ 1 . d t

ln ⁡ θ + c 1 = t + c 2

Juntando as duas constantes em uma só:

ln ⁡ θ = t + C

Isolando θ :

θ = e t + C = e t ∙ e C

Como e C é uma constante também, podemos chamar ele de k e ficamos finalmente com

θ ( t ) = k ∙ e t

E, como θ 0 = 1

Temos

θ 0 = k ∙ e 0 = 1 ⇒ k = 1

Logo

θ = e t

E nossa parametrização, agora em função de t , fica:

r t = ( cos ⁡ e t , sen ⁡ e t )

Passo 3

Pra achar a velocidade escalar dele é só derivar isso, substituir em t = 2 π e achar o módulo e marcar a resposta. Bora fazer?

r t = ( cos ⁡ e t , sen ⁡ e t )

r ' t = ( - e t  sen ⁡ e t , e t cos ⁡ e t )

r ' ( 2 π ) = ( - e 2 π  sen ⁡ e 2 π , e 2 π cos ⁡ e 2 π )

v = r ' 2 π = ( - e 2 π  sen ⁡ e 2 π 2 + e 2 π cos ⁡ e 2 π 2

v = r ' 2 π = ( e 2 π ) 2 (   sen 2 ⁡ e 2 π + cos 2 ⁡ e 2 π )  

v = r ' 2 π = ( e 2 π ) 2  

v = r ' 2 π = e 2 π

Resposta

L e t r a   a

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