Considere a curva dada por . Sabe-se que a imagem de admite, no ponto , dois vetores tangentes, unitários e com produto escalar positivo. Determine o valor desse produto escalar.

Derivando a nossa curva temos que

usando em cada termo a regra do produto junto com a regra da cadeia, temos que

Esse é o nosso vetor tangente! Mas é apenas um, certo? Na verdade não, já que podemos ter vários dependendo do valor de , vamos usar o ponto dado para encontrar quais valores de resultam neste ponto específico!

O ponto é , portanto, temos que a curva é tal que

ou seja, temos duas equações da forma

e

Note que ambas devem ser resolvidas simultaneamente, a equação da esquerda tem solução quando ou , mas quando , a equação da direita não tem validade! No entanto, podemos usar por exemplo, , que resolve ambas as equações ao mesmo tempo! Temos que

e

note que para a segunda equação ser verdade é necessário lembrar da paridade da função cosseno! Usando ambos os valores de vamos escrever nossos vetores tangentes!

Usando , temos que

e, para o outro valor, temos

mas lembre que eles devem ser unitários, ou seja, vamos dividir cada um deles por seus módulos, por sorte, devido a definição de módulo, ambos tem o mesmo tamanho, saca só

que pode ser simplificado como

ou seja, nossos vetores tangentes unitários são

e, da mesma forma

Uff… vamos finalmente calcular o produto escalar entre eles!

Usando a definição de produto escalar temos que

ou simplesmente

posso garantir a positividade uma vez que . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!