Encontre um vetor tangente unitário da curva r(t) = 6 * sen(2t) i + 6 * cos(2t) j + 5t k para t pertencente ao intervalo [0, pi]

Passo 1

O enunciado já deu a curva parametrizada, então para encontrar o vetor tangente é só derivar!

v t → = r ' t → = d d t r t →

E para derivar um vetor é só derivar cada uma das componentes (lembre de usar a regra da cadeia!).

d d t 6 . sen ⁡ 2 t = 12 . cos ⁡ ( 2 t )

d d t 6 . cos ⁡ 2 t = - 12 . sen ⁡ ( 2 t )

d d t 5 t = 5

Então nosso vetor tangente é:

v t → = 12 . cos ⁡ ( 2 t ) i + - 12 . sen ⁡ ( 2 t ) j + 5 k

Passo 2

Agora o problema é o seguinte, queremos que esse vetor seja unitário!

Você deve lembrar que a gente pode multiplicar ou dividir um vetor por qualquer número sem mudar a direção dele. Isso quer dizer que esse vetor que a gente achou vai continuar sendo tangente mesmo que ele seja multiplicado ou dividido por algum número.

Para que um vetor se torne unitário, precisamos dividi-lo pelo próprio módulo:

v ^ = v t → v t →

Então vamos calcular o módulo de v t → :

v t → = v x 2 + v y 2 + v z 2

v t → = 12 . cos ⁡ 2 t 2 + - 12 . sen ⁡ 2 t 2 + 5 2

v t → = 144 . cos 2 ⁡ ( 2 t ) + 144 . sen 2 ⁡ ( 2 t ) + 25

Lembrando que sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 , ficamos com o seguinte resultado:

v t → = 144 + 25 = 169 = 13

Passo 3

Então vamos dividir o vetor v t → por 13 :

v ^ = v t → 13 = 12 . cos ⁡ ( 2 t ) i - 12 . sen ⁡ ( 2 t ) j + 5 k 13

v ^ = 12 13 cos ⁡ 2 t i + sen ⁡ ( 2 t ) j ) + 5 13 k

Pronto!

Resposta

O vetor tangente unitário da curva é v ^ = 12 13 cos ⁡ 2 t i + sen ⁡ ( 2 t ) j ) + 5 13 k

Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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