Considere a curva parametrizada por
Em qual ponto da curva o vetor tangente faz um ângulo com o vetor ?
Passo 1
Vamos começar achando o vetor tangente à curva.
Como que faz isso mesmo??
A gente simplesmente deriva a parametrização da curva
Vamos lá.
E pronto!
Passo 2
Agora a gente quer que esse vetor faça um ângulo de com o vetor que a questão ceu pra gente, certo?
Ok, temos dois vetores e um ângulo, como que a gente pode relacionar essas coisas?
Isso mesmo! Usando aquela definição de produto escalar que envolve cosseno. Assim, óh:
Isolando o cosseno, ficamos com:
Temos o ânulo , então dá pra calcular esse cosseno. Temos também os vetores e , então é só calcular o produto escalar do numerador e o módulo desses vetores pro denominador. Assim vamos descobrir o valor do instante em que o ângulo entre esses vetores é e substituindo isso na parametrização da curva, vamos ter o que a questão pede pra gente.
Passo 3
Vamos começar pelo numerador:
Passo 4
Agora calculando os módulos de cada vetor:
Colocando em evidencia:
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula do passo 3:
Assim, o instante em que o vetor tangente faz um ângulo com o vetor é o arco cujo cosseno vale .
Como nosso só varia entre e , nosso vale .
Passo 6
Então, para achar o ponto da curva que a gente tá procurando, é só substituir na parametrização da curva: