Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

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Enunciado

Considere a curva parametrizada por

r t = 2 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t ,   2 t   ,   t ∈ [ 0 , π ]

Em qual ponto da curva o vetor tangente faz um ângulo π 3 com o vetor ( 0,1 , 0 ) ?

  1. 2 , 2 , π 2
  2. 3 , 3 , π 2 16
  3. 3 , 1 , π 2 36
  4. r π / 6
  5. 0 , 2 , π 2 4

Passo 1

Vamos começar achando o vetor tangente à curva.

Como que faz isso mesmo??

A gente simplesmente deriva a parametrização da curva

Vamos lá.

r t = 2 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t ,   2 t

r ' t = - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ,   2

E pronto!

Passo 2

Agora a gente quer que esse vetor faça um ângulo de π 3 com o vetor v → = ( 0,1 , 0 ) que a questão ceu pra gente, certo?

Ok, temos dois vetores e um ângulo, como que a gente pode relacionar essas coisas?

Isso mesmo! Usando aquela definição de produto escalar que envolve cosseno. Assim, óh:

v → ∙ r ' ( t ) = v → r ' ( t ) c o s θ

Isolando o cosseno, ficamos com:

c o s θ = v → ∙ r ' t v → r ' t

Temos o ânulo θ , então dá pra calcular esse cosseno. Temos também os vetores v → e r ' t , então é só calcular o produto escalar do numerador e o módulo desses vetores pro denominador. Assim vamos descobrir o valor do instante t em que o ângulo entre esses vetores é θ = π 3 e substituindo isso na parametrização da curva, vamos ter o que a questão pede pra gente.

Passo 3

Vamos começar pelo numerador:

v → ∙ r ' t = 0,1 , 0 ∙ - 2 sen ⁡ t ,   2 cos ⁡ t ,   2

v → ∙ r ' t = 0 . - 2 sen ⁡ t + 1 . ( 2 cos ⁡ t ) + 0 . 2

v → ∙ r ' t = 2 cos ⁡ t

Passo 4

Agora calculando os módulos de cada vetor:

v → = ( 0 , 1,0 )

v → = 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1

r ' t = - 2 sen ⁡ t 2 + ( 2 cos ⁡ t ) 2 + ( 2 ) ²

r ' t = 4 sen 2 ⁡ t +   4 cos 2 ⁡ t + 4

Colocando 4 em evidencia:

r ' t = 4 ( sen 2 ⁡ t +   cos 2 ⁡ t ) + 4

r ' t = 4 + 4

r ' t = 8 = 2 2

Passo 5

Substituindo tudo na fórmula do passo 3:

c o s θ = v → ∙ r ' t v → r ' t

cos ⁡ π 3 = 2 cos ⁡ t 1 . 2 2

1 2 = cos ⁡ t 2

cos ⁡ t = 2 2

Assim, o instante t em que o vetor tangente faz um ângulo π 3 com o vetor ( 0,1 , 0 ) é o arco cujo cosseno vale 2 2 .

Como nosso t só varia entre 0 e π , nosso t vale π 4 .

Passo 6

Então, para achar o ponto da curva que a gente tá procurando, é só substituir t = π 4 na parametrização da curva:

r t = 2 cos ⁡ t ,   2 sen ⁡ t ,   2 t

r π 4 = 2 cos ⁡ π 4 ,   2 sen ⁡ π 4 ,   2 . π 4

r π 4 = 2 2 2 ,   2 2 2 ,   2 . π 4

r π 4 = 2 , 2 ,   π 2

Resposta

L e t r a   a

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