USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 13
A reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies e no ponto é paralela ao vetor
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Fala galera, beleza?
Nesse exercício ele forneceu a equação de duas superfícies e quer saber sobre a reta tangente à curva obtida pela intersecção delas. O primeiro passo é obter uma parametrização para essa curva e em seguida calcular o vetor tangente:
Esse vetor dá a direção da reta tangente!
As equações das superfícies são:
Isolando na segunda equação:
Substituímos isso na primeira equação:
Portanto,
Assim,
Passo 2
Precisamos completar quadrados:
Assim,
Logo,
Para parametriz essa curva, lembramos que
Assim, chamamos
Logo,
Como :
Portanto, a equação da curva é
Passo 3
Como queremos ver o que acontece no ponto , vamos achar o correspondente a isso:
Assim,
Portanto, e . Logo, .
Passo 4
Derivando cada componente de :
Fazendo :
Queremos saber qual alternativa tem um vetor que seja paralelo a esse. Para isso, fazemos
Fazendo , obtemos
Vamos de alternativa A 😊
Resposta
Alternativa A.