Origem do Exercício
Seja o vetor posição de uma partícula que se move ao longo de uma curva lista no plano.
Considere as afirmações. Assinale (V) ou (F):
- ( ) Quando uma partícula se move durante um intervalo de tempo , as coordenadas da partícula são . Os pontos formam uma curva que é a trajetória da partícula;
- ( ) A velocidade é a derivada da posição, isto é: ;
- ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da velocidade é igual a ;
- ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou seja, ;
- ( ) O vetor unitário ou versor é a direção do movimento no instante ;
- ( ) é lisa se for contínua e nunca ;
- (1) V (2) F (3) F (4) V (5) F (6) V
- (1) V (2) F (3) V (4) V (5) V (6) V
- (1) V (2) V (3) V (4) V (5) V (6) F
- (1) V (2) V (3) F (4) V (5) V (6) F
- (1) V (2) F (3) V (4) V (5) V (6) F
Passo 1
A primeira afirmativa está correta. Se para cada instante de tempo você anotar as coordenadas da partícula, no final de um intervalo de tempo o conjunto dos pontos que você anotou vai ser a trajetória da partícula.
É como se você tirasse uma série de muitas fotos seguidas e depois juntasse todas em um vídeo que mostraria o movimento completo da partícula.
Passo 2
A segunda afirmativa está correta, até porque essa é a definição da função da velocidade: é a derivada da função da posição.
Isso é fácil de entender quando pensamos que “velocidade” é a taxa com que a posição de alguma coisa varia, e a derivada serve exatamente para calcular as taxas com que as funções variam.
Passo 3
A terceira afirmativa também está correta, e também é uma definição. Já vimos que a velocidade é a derivada da posição:
E quando derivamos um vetor, temos que derivar cada uma das componentes:
E o módulo desse vetor vai seguir essa fórmula aqui:
Então:
Que é exatamente a equação dada na afirmativa.
Passo 4
A quarta afirmativa está correta pela mesma razão da segunda: é a própria definição da função da aceleração!
Passo 5
Primeiro vamos entender esse quociente (lembre-se de que é um vetor):
Quando dividimos um vetor pelo seu próprio módulo, estamos simplesmente achando um vetor unitário (de módulo ) na mesma direção do .
A pergunta então é simples: o vetor velocidade aponta na direção do movimento? Sim! Isso é bastante intuitivo: se você estiver se movendo em alguma outra direção, então sua velocidade vai apontar para ela, não há como escapar!
Passo 6
A última afirmativa depende da definição de uma curva lisa.
A definição é um pouco mais sofisticada, mas por enquanto é suficiente dizer que uma curva é “lisa” quando é contínua e tem derivadas contínuas.
Não há nenhum problema em existir em um ponto em que ! A última afirmativa é falsa.
Resposta
Letra (c).