A reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies 2 * x² - y² + 4 * z² = 7 e x + y = 1 no ponto (-1, 2, 3/2) é paralela ao vetor

a) (1, -1, 0) .

b) (2, -1, 0) .

c) (-1, 2, 0) .

d) (1, 0, -1) .

e) (1, 0, -2) .

Passo 1

Fala galera, beleza?

Nesse exercício ele forneceu a equação de duas superfícies e quer saber sobre a reta tangente à curva obtida pela intersecção delas. O primeiro passo é obter uma parametrização γ t = x t ,   y t ,   z t para essa curva e em seguida calcular o vetor tangente:

γ ' t = x ' t ,   y ' t ,   z ' t

Esse vetor dá a direção da reta tangente!

As equações das superfícies são:

2 x 2 - y 2 + 4 z 2 = 7 x + y = 1

Isolando y na segunda equação:

y = 1 - x

Substituímos isso na primeira equação:

2 x 2 - 1 - x 2 + 4 z 2 = 7

Portanto,

2 x 2 - 1 - 2 x + x 2 + 4 z 2 = 7

2 x 2 - 1 + 2 x - x 2 + 4 z 2 = 7

Assim,

x 2 + 2 x + 4 z 2 = 8

Passo 2

Para escrever a curva de uma forma mais simples temos que completar quadrados! A ideia é bem simples: devemos somar e subtrair um número para obter um quadrado perfeito:

x 2 + b x = x 2 + b x + b 2 2 - b 2 2 = x + b 2 2 - b 2 4

Com isso,

x 2 + 2 x = x 2 + 2 x + 1 - 1 = x + 1 2 - 1

Assim,

x 2 + 2 x + 4 z 2 = 8 ⇒ x + 1 2 - 1 + 4 z 2 = 8

Logo,

x + 1 2 + 2 z 2 = 9 = 3 2

Para parametrizar curvas desse tipo ( X 2 + y 2 = k 2 ), é muito útila usar a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ t + s e n 2 t = 1

Note que a curva pode ser escrita como

x + 1 3 + 2 z 3 2 = 1

Assim, chamamos

x + 1 3 = cos ⁡ t             e         2 z 3 = s e n   t

Portanto,

x + 1 = 3 cos ⁡ t                     e               2 z = 3   s e n   t

Logo,

x = - 1 + 3 cos ⁡ t                       e                   z = 3 2   s e n   t

Como y = 1 - x :

y = 1 - - 1 + 3 cos ⁡ t = 2 - 3 cos ⁡ t

Portanto, como γ t = x t ,   y t ,   z t :

γ t = - 1 + 3 cos ⁡ t ,   2 - 3 cos ⁡ t , 3 2   s e n   t

Passo 3

Como queremos ver o que acontece no ponto - 1 ,   2 , 3 2 , vamos achar o t correspondente a isso:

y t = - 1 + 3 cos ⁡ t ,   2 - 3 cos ⁡ t , 3 2   s e n   t = - 1 ,   2 , 3 2

Igualando componente a componente:

- 1 + 3 cos ⁡ t = - 1 2 - 3 cos ⁡ t = 2 3 2   s e n   t = 3 2

Da primeira e segunda equação, tiramos

cos ⁡ t = 0

Já da última equação, encontramos

s e n   t = 1

Portanto, temos que

t = π 2

Passo 4

Como γ t = - 1 + 3 cos ⁡ t ,   2 - 3 cos ⁡ t , 3 2   s e n   t

derivando componente a componente:

γ ' t = - 3   s e n   t ,   3   s e n   t , 3 2 cos ⁡ t

Fazendo t = π / 2 :

γ ' π 2 = - 3   s e n π 2 ,   3   s e n π 2 , 3 2 cos ⁡ π 2

γ ' π 2 = - 3 ,   3 ,   0

Queremos saber qual alternativa tem um vetor que seja paralelo a esse. Para que dois vetores sejam paralelos, um deve ser múltiplo do outro. Assim,

u → = λ     γ ' π 2

Logo,

u → = λ   - 3 ,   3 ,   0

Vemos que a componente z de u → deve ser 0 . Além disso, as componentes x e y devem ser iguais em módulo mas com sinal contrário. A única alternativa que apresenta isso é:

u → = 1 ,   - 1 ,   0

Para chegar nessa resposta, λ = - 1 / 3 resolve!

Vamos de alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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