USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 11
A reta tangente à curva dada pela intersecção das superfícies e no ponto é paralela ao vetor
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Fala galera, beleza?
Nesse exercício ele forneceu a equação de duas superfícies e quer saber sobre a reta tangente à curva obtida pela intersecção delas. O primeiro passo é obter uma parametrização para essa curva e em seguida calcular o vetor tangente:
Esse vetor dá a direção da reta tangente!
As equações das superfícies são:
Isolando na segunda equação:
Substituímos isso na primeira equação:
Portanto,
Assim,
Passo 2
Para escrever a curva de uma forma mais simples temos que completar quadrados! A ideia é bem simples: devemos somar e subtrair um número para obter um quadrado perfeito:
Com isso,
Assim,
Logo,
Para parametrizar curvas desse tipo (), é muito útila usar a relação fundamental da trigonometria:
Note que a curva pode ser escrita como
Assim, chamamos
Portanto,
Logo,
Como :
Portanto, como :
Passo 3
Como queremos ver o que acontece no ponto , vamos achar o correspondente a isso:
Igualando componente a componente:
Da primeira e segunda equação, tiramos
Já da última equação, encontramos
Portanto, temos que
Passo 4
Como
derivando componente a componente:
Fazendo :
Queremos saber qual alternativa tem um vetor que seja paralelo a esse. Para que dois vetores sejam paralelos, um deve ser múltiplo do outro. Assim,
Logo,
Vemos que a componente de deve ser . Além disso, as componentes e devem ser iguais em módulo mas com sinal contrário. A única alternativa que apresenta isso é:
Para chegar nessa resposta, resolve!
Vamos de alternativa A 😊
Resposta
Alternativa A.