Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Vetor Velocidade e Vetor Tangente

Ver Teoria
Exercício 30123456789101112131415161718192021222324252627282931323334353637

Enunciado

IME, Cálculo 2, 2018, VE1, Q1

Um determinado corpo de prova se desloca sobre uma curva no R 3 cujo vetor posição é dado pela equação r → u = 2 2 3 u 3 3 2 N × M + u 3 N + u 6 M + P , com u ∈ R , M e N vetores fixos unitários do R 3 , formando entre si um ângulo de π 3 r a d . P é o ponto ( 1,2 , 2 ) . Determine em quantas unidades de tempo u este corpo percorre uma distância de 12 unidades de comprimento de arco a partir da posição r → 0 .

Passo 1

Se acheguem, meus anjos, comece do comprimento de arco em sua definição. O comprimento percorrido a partir de u = 0 é dado por:

s u = ∫ 0 u | |   r → ' u | | d u

= ∫ 0 u r → ' ⋅ r → ' d u

Onde derivando a posição, temos:

r → ' = 2 2 3 u 3 3 2 N × M + u 3 N + u 6 M + P '

= 2 2 3 3 2 9 2 u 7 / 2 N × M + 3 u 2 N + 6 u 5 M

Logo,

r → ' ⋅ r → ' = 2 2 3 3 2 9 2 u 7 2 2 N × M ​ 2 + ( 3 u 2 2 N 2 + 6 u 5 2 M 2 +

+ 2 ⋅ 2 2 3 3 2 9 2 u 7 2 N × M ⋅ 3 u 2 N + 6 u 5 M + 18 u 7 N ⋅ M

Contudo, por serem ortogonais, N × M ⋅ N = N × M ⋅ M = 0 . Por serem M ,   N unitários, temos:

N 2 = 1 M 2 = 1 | N × M ​ 2 = | N ​ 2 | M ​ 2 sin 2 ⁡ π 3 = 3 / 4   N ⋅ M = N M cos ⁡ π 3 = 1 / 2

Logo,

r → ' ⋅ r → ' = 4 2 3 3 81 4 u 7 ⋅ 3 4 +   9 u 4 + 36 u 10 + 36 u 7 ⋅ 1 2

= 36 u 10 + 36 u 7 + 9 u 4

Passo 2

Aplicando este resultado no comprimento de arco, temos considerando o tempo u não-negativo:

s u = ∫ 0 u r → ' ⋅ r → ' d u =

= ∫ 0 u 36 u 10 + 36 u 7 + 9 u 4 d u =

= ∫ 0 u 3 u 2 4 u 6 + 4 u 3 + 1 d u = ∫ 0 u 3 u 2 2 u 3 + 1 2 d u =

= ∫ 0 u 3 u 2 | 2 u 3 + 1 | d u = ∫ 0 u 3 u 2 ( 2 u 3 + 1 ) d u =

= ∫ 0 u 6 u 5 + 3 u 2 d u =

= u 6 + u 3 0 u

Isto é:

s u = u 6 + u 3

Passo 3

Queremos agora, determinar qual u > 0 satisfaz:

s u = 12

Contudo, para u > 0 , s é estritamente crescente ( s ' = 6 u 5 + 3 u 2 > 0 ) e, portanto, injetora. Dessa forma, se encontrarmos algum valor positivo que satisfaça este deve ser o único.

Observe que:

u 6 + u 3 = 12 ⇒ u 3 u 3 + 1 = 3 ( 3 + 1 )

Claramente, u 3 = 3 satisfaz a expressão acima, logo o corpo leva

u = 3 1 3

Unidades de tempo para percorrer 12 unidades de comprimento.

Resposta

3 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

(Regra da Cadeia). Sejam t → u t ,t ∈ I , u → F → u ∈ R n ,u ∈ J , funções deriváveis, onde I e J são intervalos em R . Suponha que, para todo t ∈ I , u t ∈ J . Prove que a função H → dada por H → t =
Calcule (d vec F)/(d t) e (d^2 vec F)/(d t^2) .vec F (t) = (3 t^2 , e^(- t) , ln ( t^2 + 1 ))
Suponha que μ p θ =c o s θ i - +s e n θj - , u θ θ =- s e n θi - + c o s θj - , r t = p t u p ( θ ( t ) ) , com θ = θ ( t ) e p = p ( t ) deriváveis até a segunda ordem no intervalo I . N o t a ç ã o
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:d) f → t = e - t i → + e - 2 t j → + k →
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:e) g → t = ln ⁡ t i → + tj → + tk →